Matematyka.pl

Znaleźć miejsce geometryczne punktów z spełniających warunki:

(a) \(\displaystyle{ |z-z_2|+|z-z_2|=2a \ \ \ \ \ \ \ \ (a > 0)}\)

(b) \(\displaystyle{ |z-z_1|=\lambda|z-z_2| \ \ \ \ \ \ \ \ (\lambda > 0)}\)

(c) \(\displaystyle{ |z|^2=2a\ Re(z) + 2b \ Im(z) + c \ \ \ \ \ \ \ \ (a,b,c \in \mathbb{R})}\)

Niestety nie mam pojecia w jaki sposób robi się tego typu zadania, rozumiem że to z zakreśli jakąś figurę geometryczną w każdym z tych przypadków, ale jak dojść do tego jaką?

Rozumiem, że w pierwszym podpunkcie miało być \(\displaystyle{ z_{1}}\) w jednym z modułów. Moduł różnicy dwóch liczb zespolonych to po prostu ich odległość. W tym wypadku pierwsze równanie przedstawia zbiór takich punktów, że suma ich odległości od dwóch danych punktów jest stała i róna \(\displaystyle{ 2a}\). Tak zdefiniowana krzywa to elipsa o długościach osi \(\displaystyle{ 2a}\) oraz \(\displaystyle{ 2\sqrt{a^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2}}}\). Inaczej ciężko podać rozwiązanie, równanie ogólne elipsy jest bardzo skomplikowane.

Trzecie równanie opisuje albo okrąg \(\displaystyle{ o((a,b),c+a^{2}+b^{2})}\) cla \(\displaystyle{ c>-a^{2}-b^{2}}\), albo punkt \(\displaystyle{ (a,b)}\) dla \(\displaystyle{ c=-a^{2}-b^{2}}\) albo zbiór pusty dla \(\displaystyle{ c<-a^{2}-b^{2}}\): niech \(\displaystyle{ z=x+yi}\), wtedy równanie przybiera postać:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2ax-2by-c=0}\)
\(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c+a^{2}+b^{2}}\)

Spróbuj rozwiązać punkt drugi podobnie, jak trzeci, powinien chyba też wyjść okrąg.