Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{0}^{3} \sqrt{9-x^2}dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ x=3sin(t)}\), czyli \(\displaystyle{ t=arcsin( \frac{x}{3} )}\), czyli \(\displaystyle{ dt= \frac{1}{3 \sqrt{1- \frac{x^2}{9} } }dx}\), czyli \(\displaystyle{ dx=3 \sqrt{1- \frac{x^2}{9} } dt}\)

lepiej skorzystać z gotowego wzoru:
... 7bd02e.png

Niestety zadanie polega na tym, że trzeba skorzystać z podanego podstawienia.

Nie musisz wyznaczać t. Pokażę nieoznaczoną:

\(\displaystyle{ x = 3 \sin t \\ \frac{x}{3} = \sin t \\ \mbox{d}x = 3 \cos t \mbox{d}t}\)

Co daje całkę:

\(\displaystyle{ \int \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x = 3 \int \sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2} \mbox{d}x = 9 \int \sqrt{1-\sin^2t} \cos t \mbox{d}t = 9 \int \cos^2t \mbox{d}t}\)

Oczywiście w tym przypadku przy liczeniu nieoznaczonej należy założyć, że \(\displaystyle{ \cos t > 0}\), inaczej dwa przypadki.

Racja, zapomniałem.