Największy wspólny dzielnik...

[defox]

Witam. Mam takie zadanie na jutro i nie wiem jak je rozwiązać (zapomniałem)
Oto treść zadania:

Suma 2 liczb naturalnych jest równa 70, a ich największy wspólny dzielnik wynosi 14. Znajdź te liczby i podaj wszystkie możliwości.

Mógłby mi ktoś rozwiązać to zadanie? I proszę podać PEŁNE rozwiązanie. Chciałbym, żeby szybko mi ktoś pomógł bo to zadanie mam na jutro ....

[Lorek]

Niech te liczby to x, y. Wiemy, że
\(\displaystyle{ x+y=70\\NWD(x,y)=14\Rightarrow 14|x\;\wedge14|y\Rightarrow x=14k\wedge y=14l;\; k,l\in\mathbb{N}\;\wedge\;NWD(k,l)=1\\x+y=14k+14l=14(k+l)=70\\k+l=5\;\wedge\; NWD(k,l)=1}\)
Z tego ostatniego masz 4 mozliwości:
\(\displaystyle{ (k;l)\in\{(1;4);(2;3);(3;2);(4;1)\}}\)
I wstawiasz teraz każdą z nich do tego układu
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x=14k\\y=14l\end{array}\right.}\)

[pOwer]

Skąd wiemy, że NWD(k,l)=1 ??

[Lorek]

Gdyby było inaczej, to \(\displaystyle{ NWD(x,y)\neq 14}\)