Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 ^{+} } (ln x)^{1/x}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} }(tg2x \cdot ln(tgx))}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 }((1- e^{2x}) \cdot ctgx)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left[x2 ^{1/x} -x \right]}\)


mecze sie juz z nimi pol dnia, ten pierwszy jest banalny ale cos mi nie wychodzi..z gory dzieki za pomoc

1. \(\displaystyle{ (\ln x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln(\ln x)}}\)
to powinno być pomocne, spróbuj znaleźć granicę wykładnika
2. \(\displaystyle{ \tg(2x)\cdot\ln(\tg x)=-\frac{\ln\left(\frac{1}{\tg x}\right)}{\frac{1}{\tg(2x)}}}\)
3. \(\displaystyle{ \left(1-e^{2x}\right)\frac{\cos x}{\sin x}=2\frac{1-e^{2x}}{2x}\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot\cos x}\)
4. \(\displaystyle{ x2^{\frac{1}{x}}-x=\frac{2^{\frac1x}-1}{\frac{1}{x}}}\)
tego drugiego tylko nie jestem pewien czy to pomoże, gdyby tak nie było mów:) z pozostałymi powinieneś sobie poradzić

drugi i trzeci zrobiłem, wena mnie naszła jak wracałem z uczelni, trochę inne podstawienia zastosowałem..w pierwszym przykładzie, wiem, że należy zastosować funkcje potęgowo-wykładniczą, ale cały sęk w tym, że nie wychodzi mi i za każdym razem zatrzymuje się na tym samym miejscu, skoro tak jest to muszę robić jakiś błąd..a czwarty zaraz przeanalizuje jeszcze raz, zastanawiam się tylko, czy \(\displaystyle{ 2 ^{ \frac{1}{x} }}\), zrobić z funkcji potęgowo-wykładniczej czy z czegoś innego..

1. nie zauważyłem wcześniej, że tutaj jest problem z liczbą (jest tam liczba ujemna podniesiona do zmiennej potęgi, nie można logarytmować bo \(\displaystyle{ \ln(\ln x)}\) nie ma sensu dla \(\displaystyle{ x\le1}\)), nie umiem więc tego rozwiązać - może ktoś inny będzie wiedział:)
4. podstaw \(\displaystyle{ 2^{\frac{1}{x}}-1=t}\) i zamień wszystko - potem wystarczy definicja liczby e

tam jest mój błąd, w pierwszym przykładzie granica dąży do \(\displaystyle{ \infty}\)

no to \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln x)}{x}}\) i teraz reguła L'Hospitala (pamiętaj, że to jest w wykładniku liczby e)

ja to wiem, znam reguły wykonywania tych czynności, potrafię użyć tych narzędzi, ale gdzieś popełniam błąd w tym pierwszym przykładzie i liczyłem po cichu, ze mi wyprowadzisz ten przykład i zobaczę gdzie robię ten błąd..a do czwartego nie mam pomysłu, kompletnie nie wiem jak się do niego zabrać..

bartekm_89 pisze:liczyłem po cichu, ze mi wyprowadzisz ten przykład i zobaczę gdzie robię ten błąd

wyprowadzę go razem z Tobą i zobaczysz, gdzie popełniałeś błąd; rozumiem, że problem leży w znalezieniu pochodnej góry i dołu wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\ln(\ln x)}{x}}\) - zamieść swoje obliczenia
4. podstaw \(\displaystyle{ 2^{\frac1x}-1=t}\), wtedy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=\log_2(t+1)}\), i jak wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2^{\frac1x}-1}{\frac{1}{x}}}\) będzie wtedy wyglądać?

zrobilem =]