Matematyka.pl

Witam. Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:

zad. 1
Oblicz długość łuku krzywej:
\(\displaystyle{ x=e ^{t}cost}\)
\(\displaystyle{ y=e ^{t}sint}\)
\(\displaystyle{ z=e ^{t}}\)
\(\displaystyle{ t \in <0,1>}\)
Znam taki wzór: \(\displaystyle{ \left| L \right| = \int_{a}^{b} \sqrt{1+(f'(x))^{2}} dx}\), ale nie wiem, jak i czy w ogóle można go zastosować w tym przypadku.

zad. 2
Oblicz moment bezwładności masy jednorodnego okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=a^{2}}\) względem jego średnicy.


Z góry dziękuję za pomoc.

zad. 2

Wskazówka:

\(\displaystyle{ dI= x^{2} \ dm}\)
\(\displaystyle{ dm= \frac{M}{2\pi a} dl}\)

Zamiana na współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ x=a\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ y=a\sin\alpha}\)

Ze wzoru na długośc łuku mamy:
\(\displaystyle{ dl=2\pi a d\alpha}\)

Zatem
\(\displaystyle{ dI=a^{2} \cos^{2}\alpha \cdot \frac{M}{2\pi a} \cdot 2\pi a d\alpha}\)
\(\displaystyle{ dI=Ma^{2}\cos ^{2}\alpha d\alpha}\)

Dalej całkujesz od \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i mnożysz razy dwa

Pozdrawiam.