Matematyka.pl

Natknąłem się na zadanie które sprawiło mi problem. Pochodzi z jakieś matury próbnej (okręgu nie pamiętam).

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ x^4+x^3-x-1}\) jest wielomianem \(\displaystyle{ x^3+x^2+x+1}\). Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez \(\displaystyle{ x^2-1}\).
Poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ 2x+2}\). Nie wiem jak do tego dojść, brak mi potrzebnej wiedzy na temat tw. Bezouta, chodzi o te stopnie. Jakby ktoś mógł przytoczyć jakieś twierdzenie Rozwiązaniem też nie pogardzę

Pozdrawiam pokerstar

Moge sie mylić... W(x) jest sumą wielomianu przez który dzielony jest W(x) i reszty dzielenia. Według mnie trzeba zsumować te dwa wyrażenia i poźniej podzielic przez \(\displaystyle{ x ^{2} -1}\)

Bez obrazy, ale kiepski pomysł.

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x^{4}+x^{3}-x-1)+x^{3}+x^{2}+x+1=
Q(x) \cdot (x^{3}-1)(x+1) + x^{3}+x^{2}+x+1=
Q(x) \cdot (x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)+ x^{3}+x^{2}+x+1}\)

Z tej postaci jasno wynika, że licząc \(\displaystyle{ W(1)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\) otrzymamy samą resztę \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x+1}\) \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest pomocnicze, by zgadzał się formalny zapis.

\(\displaystyle{ W(1)=1^{3}+1^{2}+1+1=4}\)
\(\displaystyle{ W(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1=0}\)


Teraz zapiszemy nasz wielomian przy użyciu naszego docelowego dzielnika. \(\displaystyle{ P(x)}\) pomocnicze, a \(\displaystyle{ R(x)}\) to szukana reszta

\(\displaystyle{ W(x)=P(x) \cdot (x^{2}-1) + R(x)}\)

Zauważam, że
\(\displaystyle{ P(x)=Q(x) \cdot (x^{2}+x+1)}\)
W sumie nic nam to nie daje, ale fajnie wiedzieć xD

Teraz ważna sprawa: reszta z dzielenia jest zawsze o stopień niższa od dzielnika. Czyli
\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Znając reszty dla 1 i -1 możemy łatwo obliczyć a i b

\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 1+b=4 \\ a \cdot (-1)+b=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \end{cases}}\)

Czyli nasz reszta ma postać

\(\displaystyle{ 2x+2}\)