Dla jakiego paramertu a wielomian ma 4 różne pierwiastki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
lookasiu87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 1 lis 2004, o 09:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hehe
Podziękował: 22 razy

Dla jakiego paramertu a wielomian ma 4 różne pierwiastki

Post autor: lookasiu87 » 1 lis 2004, o 21:53

dla jakich wartosci parametru a równanie \(\displaystyle{ x^4 -(a+1)x^2 +4=0}\) ma cztery różne pierwiastki

arigo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 852
Rejestracja: 23 paź 2004, o 10:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Pomógł: 28 razy

Dla jakiego paramertu a wielomian ma 4 różne pierwiastki

Post autor: arigo » 1 lis 2004, o 21:58

\(\displaystyle{ x^2=t\\

\\ \Delta > 0\\
t_1 \cdot t_2 \ge 0}\)

gnicz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 507
Rejestracja: 16 wrz 2004, o 18:24
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ???

Dla jakiego paramertu a wielomian ma 4 różne pierwiastki

Post autor: gnicz » 1 lis 2004, o 22:01

Podstawiamy \(\displaystyle{ t = x^2}\).

\(\displaystyle{ t^2 - (a + 1)t + 4 = 0}\)

Oznaczmy wyroznik trojmianu przez D:

\(\displaystyle{ D = (a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (a + 1)^2 - 16}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ D > 0\\
(a + 1)^2 - 16 > 0\\
(a + 1)^2 > 16 \Rightarrow (a + 1 > 4) \vee (a + 1 (a > 3) \vee (a < -5)}\)


Pozdrawiam, GNicz

Awatar użytkownika
olazola
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 811
Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Pomógł: 36 razy

Dla jakiego paramertu a wielomian ma 4 różne pierwiastki

Post autor: olazola » 1 lis 2004, o 22:15

a co jeśli rowiązania czyli \(\displaystyle{ t_1}\) lub \(\displaystyle{ t_2}\) są ujemnie, po powrocie do podstawinia w życiu nie dostaniemy czterech rozwiązań.
radzę zrobić dotatkowe założenia
\(\displaystyle{ t_1 \cdot t_2>0\\
t_1+t_2>0}\)

i zastosować wzory Viete'a

ODPOWIEDZ