Matematyka.pl

wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są kątami ostrymi oraz \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} +1}{ \sqrt{2} -1}}\) i \(\displaystyle{ tg \beta = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\), to \(\displaystyle{ \alpha - \beta = \frac{\pi}{4}}\).

domyślam sie, że muszę skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ tg ( \alpha - \beta )= \frac{tg \alpha -tg \beta }{1+ tg \alpha tg \beta }}\)

jednak za każdym razem wychodzi mi: \(\displaystyle{ tg ( \alpha - \beta )= \frac{6+3 \sqrt{2} }{4+3 \sqrt{2} }}\), a to nijak się ma do 1.

proszę o pomoc

mi wychodzi 1, zamiesc obliczenia

\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{ \sqrt{2} +1}{ \sqrt{2} -1} \cdot \frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} +1} =3+2 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ tg \beta = \frac{1}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ tg ( \alpha - \beta )= \frac{tg \alpha -tg \beta }{1+ tg \alpha tg \beta }}\)

licznik: \(\displaystyle{ tg \alpha -tg \beta = \frac{6+4 \sqrt{2} - \sqrt{2} }{2} = \frac{6+3 \sqrt{2} }{2}}\)

mianownik: \(\displaystyle{ 1+ tg \alpha tg \beta=1+(3+ \sqrt{2} ) \frac{ \sqrt{2} }{2}=2+ \frac{3 \sqrt{2} }{2} = \frac{4+3 \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ tg ( \alpha - \beta )= \frac{tg \alpha -tg \beta }{1+ tg \alpha tg \beta }=\frac{6+3 \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{2}{4+3 \sqrt{2} } =\frac{6+3 \sqrt{2} }{4+3 \sqrt{2} }}\)

yoana91 pisze:mianownik: \(\displaystyle{ 1+ tg \alpha tg \beta=1+\red(3+ \sqrt{2} ) \frac{ \sqrt{2} }{2}\black=2+ \red\frac{3 \sqrt{2} }{2}\black = \frac{4+3 \sqrt{2} }{2}}\)

szukaj błędu w czerwonym

yoana91 pisze:
mianownik: \(\displaystyle{ 1+ tg \alpha tg \beta=1+(3+ \sqrt{2} ) \frac{ \sqrt{2} }{2}=2+ \frac{3 \sqrt{2} }{2} = \frac{4+3 \sqrt{2} }{2}}\)

już widzę swój błąd

powinno być: \(\displaystyle{ 1+ tg \alpha tg \beta=1+(3+ 2 \sqrt{2} ) \frac{ \sqrt{2} }{2}=....}\)