koło opisane i wpisane w trójkąt

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
piopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 14 mar 2010, o 18:48
Płeć: Mężczyzna

koło opisane i wpisane w trójkąt

Post autor: piopa » 14 mar 2010, o 18:54

Mam do zrobienia takie zadanie. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Wyznacz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt. Wynik przedstaw w jak najprostszej postaci. Macie jakiś pomysł

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

koło opisane i wpisane w trójkąt

Post autor: piasek101 » 14 mar 2010, o 20:31

Kąty trójkąta to 30; 60; 90. \(c = 2R\) oraz \(2r=a+b-c\) (klasyczne oznaczenia)

fabjano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 mar 2010, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łowicz

koło opisane i wpisane w trójkąt

Post autor: fabjano » 14 mar 2010, o 20:51

jest to trójkąt o kątach 30 60 90 czyli (link z twierdzeniem http://www.math.us.edu.pl/prace/2001/bp/strona3.html) 2a-przeciwprostokątna a-krótsza przyprostokątna a\(\sqrt{3}\) -dłuższa przyprostokątna \(a^{m}\) mamy boki i wiemy że 2a to średnica dużego okręgu czyli: 2a=2R a=R teraz korzystamy z twierdzenia, że suma przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym równa się sumie średnic okręgów wpisanego i opisanego (link http://www.matematyka.pl/73231.htm), że a+b=2(r+R) a+a\(\sqrt{3}\)=2(r+a) a+a\(\sqrt{3}\)=2r+2a 2r=a+a\(\sqrt{3}\)-2a r=-a+a\(\sqrt{3}\) obliczamy pola okręgów P=\(\pi\)r \(^{2}\) P2=\(\pi\)(-a+a\(\sqrt{3}\))\(^{2}\) P2=\(\pi\) 4a \(^{2}\)-2a\(\sqrt{3}\) P1=\(\pi\) a \(^{2}\) obliczamy stosunek \(\frac{P2}{P1}\) sory ale ułamki nie chciał mi się załadować jakiś błąd

piopa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 14 mar 2010, o 18:48
Płeć: Mężczyzna

koło opisane i wpisane w trójkąt

Post autor: piopa » 14 mar 2010, o 21:22

Dzięki fabjano. Mógłbyś jeszcze spróbować podać wynik ? (może słownie?)

ODPOWIEDZ