Matematyka.pl

Mam zadanie:

Znaleźć kontrprzykład (poza przestrzenią dyskretną) na tezę:
\(\displaystyle{ \overline{K}(a,r)=\overline{K(a,r)}}\)

Problem, dość głupi, mam z tym, że nie wiem, co oznacza \(\displaystyle{ \overline{K(a,r)}}\).
Pomożecie?

Prawdopodobnie chodzi o wykazanie różnicy pomiędzy kulą domkniętą a domknięciem kuli. W topologii dyskretnej jest to dosyć proste, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ r=1}\). Podobny przykład możemy skonstruować inaczej: weźmy \(\displaystyle{ mathbb{R} ackslash [0,1)}\) i rozważmy kulę o środku w 0 i promieniu 1.

Niech \(\displaystyle{ a\notin \mathbb{R}}\) i niech \(\displaystyle{ X=\mathbb{R} \cup \{a\}}\). Określamy \(\displaystyle{ d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}}\) jak następuje:
\(\displaystyle{ d(x,y)=\min \{1, |x-y|\}}\) jeśli \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\),
\(\displaystyle{ d(x,a)=d(a,x)=102}\) dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\),
\(\displaystyle{ d(a,a)=0}\)
Łatwo sprawdzisz, że tak określona funkcja \(\displaystyle{ d}\) jest metryką oraz, że \(\displaystyle{ K(0,102)=\{z\in X: d(0,z)<102\}=\mathbb{R}}\) , więc \(\displaystyle{ \overline{K(0,102)}=\mathbb{R}}\), zaś \(\displaystyle{ \overline{K} (0,102)=\{z\in X: d(0,z) \le 102\}=X}\).

Dziękuję za pomoc