Czy podana liczba jest podzielna przez 10

[krystian8207]

Czy podana liczba jest podzielna przez 10:
\(\displaystyle{ 6^{2003}-6}\)

Widzialem to zadanie juz na forum lecz bylo rozwiazane poprzez obserwowanie ostatnich cyfr kolejnych poteg. Ja natomiast chce abyscie srawdzili czy poprawnie robie to przez kogruencje.

\(\displaystyle{ 6^{1}\equiv6 (mod 10)}\)
\(\displaystyle{ 6^{2}\equiv6 (mod 10)}\)
\(\displaystyle{ 6^{3}\equiv6 (mod 10)}\)
I teraz nie wiem czy tak bez dodatkowych obliczen lub slownego wytlumaczenia moge przejsc do formy:
\(\displaystyle{ 6^{2003}\equiv6 (mod 10)}\)

Prosze o wskazowki. Dopiero zaczynam z kongruencja ;]

[ordyh]

Jest ok taka ukryta indukcja: \(\displaystyle{ 6^n\equiv6\ (mod\ 10) \Rightarrow 6^{n+1}\equiv6\ (mod\ 10)}\)

[smigol]

Jest ok

Bez tej indukcji wg mnie jest źle.

poza tym, krystian8207, cóż Ty innego robisz, jak nie porównujesz ostatnich cyfr? ;]

Możesz też bez indukcji. Wyciągnij 6 przed nawias, podzielność przez 2 już masz z głowy, a potem ładnie wyidać, że \(\displaystyle{ 5|(6^n-1)}\), albo ze wzoru skr mnożenia, albo (widzę, że ćwiczysz kongruencje) 6 przystaje do 1 modulo5. I można kongruencje potęgować stronami.

[krystian8207]

Fakt smigol. ;] Dzieki za wskazowki. Pozdrawiam