Czy podana liczba jest podzielna przez 10

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
krystian8207
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 282
Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dachnów
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 13 razy

Czy podana liczba jest podzielna przez 10

Post autor: krystian8207 » 11 mar 2010, o 19:18

Czy podana liczba jest podzielna przez 10:
\(\displaystyle{ 6^{2003}-6}\)

Widzialem to zadanie juz na forum lecz bylo rozwiazane poprzez obserwowanie ostatnich cyfr kolejnych poteg. Ja natomiast chce abyscie srawdzili czy poprawnie robie to przez kogruencje.

\(\displaystyle{ 6^{1}\equiv6 (mod 10)}\)
\(\displaystyle{ 6^{2}\equiv6 (mod 10)}\)
\(\displaystyle{ 6^{3}\equiv6 (mod 10)}\)
I teraz nie wiem czy tak bez dodatkowych obliczen lub slownego wytlumaczenia moge przejsc do formy:
\(\displaystyle{ 6^{2003}\equiv6 (mod 10)}\)

Prosze o wskazowki. Dopiero zaczynam z kongruencja ;]

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

Czy podana liczba jest podzielna przez 10

Post autor: ordyh » 11 mar 2010, o 19:33

Jest ok taka ukryta indukcja: \(\displaystyle{ 6^n\equiv6\ (mod\ 10) \Rightarrow 6^{n+1}\equiv6\ (mod\ 10)}\)

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Czy podana liczba jest podzielna przez 10

Post autor: smigol » 11 mar 2010, o 19:38

ordyh pisze:Jest ok
Bez tej indukcji wg mnie jest źle.

poza tym, krystian8207, cóż Ty innego robisz, jak nie porównujesz ostatnich cyfr? ;]

Możesz też bez indukcji. Wyciągnij 6 przed nawias, podzielność przez 2 już masz z głowy, a potem ładnie wyidać, że \(\displaystyle{ 5|(6^n-1)}\), albo ze wzoru skr mnożenia, albo (widzę, że ćwiczysz kongruencje) 6 przystaje do 1 modulo5. I można kongruencje potęgować stronami.
Ostatnio zmieniony 11 mar 2010, o 19:45 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.

krystian8207
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 282
Rejestracja: 2 paź 2009, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dachnów
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 13 razy

Czy podana liczba jest podzielna przez 10

Post autor: krystian8207 » 11 mar 2010, o 19:43

Fakt smigol. ;] Dzieki za wskazowki. Pozdrawiam

ODPOWIEDZ