Matematyka.pl

Witam.
Z góry proszę o wybaczenie, że nie używałem Latex'a, obiecuję, że to pierwszy i ostatni raz.
Mam kilka problemów z którymi nie mogę sobie poradzić:

Zadanie 1
Zbadać, czy zbiór macierzy macierzy M z dodawaniem jest izomorficzny ze zbiorem liczb zespolonych bez zera z mnożeniem.

czyli, czy (M, +) jest izomorficzne z (C\{0}, *), przy czym a+bi ->

W ogóle nie wiem za bardzo jak się za to zabrać. To znaczy, że muszę sprawdzić najpierw czy jest homomorfizm, czyli:

h((a+bi) + (c+di)) = h(a+bi) * h(c+di) ??
Jeżeli będą równe, to wtedy jest homomorfizm? Problem w tym, że nie wychodzą równe :/
Czy coś źle robie? Gdyby wychodziło jednak, że wzór jest dobry, to co dalej powinienem zrobić? Udowodnić różnowartościowość i „na”?

Zadanie 2
Czy odwzorowanie f:Z->Z, gdzie f(k)=-k jest endomorficznym odwzorowaniem pierścienia?

Rozumiem, że tutaj trzeba tylko sprawdzić h(k1+k2)=h(k1)+h(k2), a także
h(k1*k2)=h(k1)*h(k2)?

Zadanie 3
Wykazać, że zbiór (Q1, +, *) jest izomorficzny ze zbiorem (Q2,+,*)

Q1={a+ b*pierwiastek(2), a + b należy do Q}
Q2={a+bi ; a+b należy do Q)

Jak się za to zabrać? Od czego zacząć?

Zadanie 4
Sprawdzić, czy przekształcenie dane wzorem jest izomorfizmem grupy addytywnej liczb zespolonych na grupę addytywną macierzy postaci .

Tutaj kolega podesłał mi jakieś rozwiązanie, ale nie jestem co do niego pewien niestety i w ogóle jakoś mi nie pasuje :/

Przepraszam, że nie napisałem tego tak czytelnie jak Wy to zazwyczaj robicie.
Z góry serdecznie dziękuję za wszelką pomoc

BigSpider napisał:

W ogóle nie wiem za bardzo jak się za to zabrać. To znaczy, że muszę sprawdzić najpierw czy jest homomorfizm, czyli:

h((a+bi) + (c+di)) = h(a+bi) * h(c+di) ??

musisz sprawdzic:
h((a+bi) * (c+di)) = h(a+bi) + h(c+di)

Aha. Nom myślałem, że gdy jest odwzorowanie addytywne na multiplikatywne, to wtedy stosujemy taki wzór: h(A+B)=h(A)*h(B), czyli jednym słowem myliłem się? To w takim razie jaka jest reguła? Co robimy gdy jest odzworowanie addytywne na multiplikatywne, multiplikatywne na addytywne, addytywne na addytywne i multiplikatywne na multiplikatywne? Powoli się w tym wszystkim zaczynam motać :/

ad 3
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)

mol_ksiazkowy pisze:ad 3
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)

OK dzięki akurat tego się domyśliłem, tylko z których wzorów skorzystać, żeby to sprawdzić, bo w końcu mamy tam trochę więcej działań

Big Spider napisał:

Zadanie 2
Czy odwzorowanie f:Z->Z, gdzie f(k)=-k jest endomorficznym odwzorowaniem pierścienia?

Rozumiem, że tutaj trzeba tylko sprawdzić h(k1+k2)=h(k1)+h(k2), a także
h(k1*k2)=h(k1)*h(k2)?

tak ,

mol_ksiazkowy pisze:ad 3
narzuca sie spradzic czy to izomorfizm:
\(\displaystyle{ a+ b sqrt{2} a+bi}\)

no chyba nie bardzo bo gdyby to: \(\displaystyle{ f(a^2-2b^2)=f((a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b))=f(a+\sqrt{2}b)f(a-\sqrt{2}b)=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2}\)
kładziesz \(\displaystyle{ a=1 , b=0}\) potem na wspak i bijektywność sie kładzie...


w ogóle izo. nie istnieje bo musiało by być \(\displaystyle{ f(\sqrt{2})^2 =2}\) (pokaz korzystając z \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1}\))