Matematyka.pl

Mam równania:
\(\displaystyle{ rot(\vec {E}) = - \frac {\partial \vec {B}}{\partial t},
rot (\vec {H}) = \frac {\partial \vec {D}}{\partial t} + \vec {j},
div (\vec {B}) = 0,
div (\vec {D}) = \varrho,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \vec {B} = \mu \mu_{0} \vec {H},}\) \(\displaystyle{ \vec {D} = \varepsilon \varepsilon_{0} \vec {E},}\) \(\displaystyle{ c = \frac {1}{\sqrt\mu_{0}\varepsilon_{0}}}\)

i mam pokazać, że gdy \(\displaystyle{ \vec {j} = \vec {0} , \varrho = 0}\)
to pola \(\displaystyle{ \vec {E} , \vec {B}}\)
spełniają następujące równania falowe:
\(\displaystyle{ \nabla^2 \vec {E} - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \vec {E}}{\partial t^2} = 0 i \nabla^2 \vec {B} - \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \vec {B}}{\partial t^2} = 0}\)

i nie wiem jak się do tego zabrać...

Po założeniu \(\displaystyle{ \vec {j} = \vec {0}}\) , \(\displaystyle{ \varrho =0}\) oraz: \(\displaystyle{ \mu =\mu_{0}}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon= \varepsilon_{0}}\)

\(\displaystyle{ rot(\vec {E}) = - \frac {\partial \vec {B}}{\partial t}}\)
\(\displaystyle{ rot (\vec {B}) =\varepsilon_{0} \mu_{0} \frac {\partial \vec {E}}{\partial t}}\)
\(\displaystyle{ div (\vec {B}) = 0}\)
\(\displaystyle{ div (\vec {D}) = 0,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \vec {B} = \mu \mu_{0} \vec {H},}\) \(\displaystyle{ \vec {D} = \varepsilon \varepsilon_{0} \vec {E},}\) \(\displaystyle{ c = \frac {1}{\sqrt{ \mu_{0} \varepsilon_{0}}}}\)

i jak widać prawo ampera i Faradaya są "symetryczne" tak samo jak oba prawa Gaussa (i z tej symetrycznej postaci można brać się za wyprowadzanie tego)

następne kroki: (dla obu wektorów są analogiczne)
1. dokonujemy obustronnej rotacji prawa indukcji Faradaya
2. rozpisujemy lewą stronę, za \(\displaystyle{ rot \vec {B}}\) wstawiamy prawo przepływu Ampere'a
3. podstawiamy prawo gaussa dla elektryczności oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_{0} \mu_{0}= \frac{1}{c^{2}}}\)

dla wektora B trzeba zamienić miejscami prawo indukcji i prawo przepływu a w 3. puncie podstawić prawo gaussa dla magnetyzmu

wskazówka:
\(\displaystyle{ rot rot \vec{A}= grad div \vec{A}- \Delta \vec{A}}\)