Matematyka.pl

Jak obliczyć granicę ciągu:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ 2^{n+1}-1 }{ 3^{n+1}-1 }}\)

Wg odpowiedzi w książce granica równa się \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

Otóż:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ 2^{n+1}-1 }{ 3^{n+1}-1 } = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ 2^{n}*2-1 }{ 3^{n}*3-1 } = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ (\frac{2}{3})^{n}*2-(\frac{1}{3})^{n} }{3-(\frac{1}{3})^{n} } = \frac{2}{3}}\)

bo :
\(\displaystyle{ (\frac{2}{3})^{n} * (\frac{3}{2})^{n} = 1}\)

dzięki za pomoc, tylko 10 minut dochodziłem skąd się wzięło wyrażenie po drugim znaku równości, po prostu pomnożyłeś licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right) ^{n}}\), dla lepszego zrozumienia dla innych następnym razem nie wymnażaj od razu