Matematyka.pl

witam.
miałem kolokwium i miałem tam następujące zadanie:
przedstaw w postaci (oraz interpretacje graficzną chyba)
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{1+ \sqrt{3}i } \right) ^{3}}\)

pomnożyłem przez wartość sprzężoną mianownika:
\(\displaystyle{ \frac{1+ \sqrt{3}}{4}+ \frac{1- \sqrt{3}}{4}i}\)

moduł:
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha =\frac{1+ \sqrt{3}}{4}* \frac{2}{ \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha =\frac{1- \sqrt{3}}{4}* \frac{2}{ \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{2}- \sqrt{6} }{4}}\)
cos > 0, sin < 0, czyli powinna być IV ćwiartka. ale jak określić wartość kąta?
miałem jedynie dostępną głowę, bez kalkulatora i jakiś tablic.
proszę o sprawdzenie czy wszystko dobrze a jak nie to gdzie i jaki błąd..

\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos2\alpha=2cos^{2}\alpha -1}\)

\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha= \frac{cos\alpha+1}{2}}\)

w Twoim przypadku :

\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha= \frac{2+ \sqrt{3} }{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2+ \sqrt{3} }{4}=\frac{cos\alpha+1}{2} \Rightarrow \alpha= \frac{\pi}{12}}\)

Pozdrawiam.