Matematyka.pl

Mam następujące równanie: \(\displaystyle{ y''+6y'+8y=3e ^{-2x}+2x}\). Jakiej postaci będzie całka szczególna? Mój pomysł to: \(\displaystyle{ Ae^{2x}+Bx+C}\). Bardzo proszę o pomoc.

Zwróć uwagę na to, że \(\displaystyle{ e^{-2x}}\) jest jednokrotnym pierwiastkiem równania jednorodnego. Zatem, przewidujesz rozwiązanie w postaci: \(\displaystyle{ Ae^{-2x}x + Bx + C}\).

Czy mógłbyś jakoś prościej wytłumaczyć, bo naprawdę nie rozumiem? Oczywiście, dziękuję za pomoc ;]

Na początek twierdzenie : 140782.htm
Prawa strona równania jest sumą funkcji wielomianowej i wykładniczej. Zatem można domniemać, że rozwiązanie także będzie sumą takowych funkcji.

Najpierw spójrzmy na pierwszą składową, czyli funkcję wykładniczą. Jest ona postaci: \(\displaystyle{ 3e^{-2x}}\). Stąd, zgodnie z definicją twierdzenia o metodzie przewidywań przewidujemy tą składową rozwiązania w postaci \(\displaystyle{ x^{s}Ae^{\alpha*x}}\). Nasze \(\displaystyle{ \alpha = -2}\). Natomiast \(\displaystyle{ s = 1}\), albowiem \(\displaystyle{ e^{-2x}}\) jest już pierwiastkiem krotności 1 wielomianu charakterystycznego równania jednorodnego(por. definicja metody przewidywań).

Druga składowa to nic innego jak funkcja liniowa, zatem przewidujemy po prostu \(\displaystyle{ Bx + C}\). Stąd, przewidywane rozwiązanie to suma obu składowych: \(\displaystyle{ Ae^{-2x}x + Bx + C}\).

Mam nadzieję, że nic po drodze nie pomieszałem.