całka z logarytmu i sinusa

[michal_877]

\(\displaystyle{ \int \ln x \sin x}\) robiłem po częściach ale nie wychodzi.. jak ją zrobić ?!

[M Ciesielski]

\(\displaystyle{ \int \ln x \sin x \mbox{d}x = -\ln x \cos x + \int \frac{\cos x}{x} \mbox{d}x}\)

Ta całka jest nieelementarna.

[artur1990a]

\(\displaystyle{ \int lnxsinxdx=\[\ u=lnx \Rightarrow du=\frac{dx}{x} \\ dv=sinx \Rightarrow v=-cosx \]\ =-lnxcosx+\int \frac{cosx}{x}dx}\)

A jeśli chcesz \(\displaystyle{ \int \frac{cosx}{x}dx}\) , to musisz scałkować szereg Maclurina...

[michal_877]

a co to takiego jest ten szereg Maclurina nigdzie nie mogę znaleźć o tym informacji.-- 4 mar 2010, o 20:44 --a co to takiego jest ten szereg Maclurina nigdzie nie mogę znaleźć o tym informacji.

[artur1990a]

Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale \(\displaystyle{ <a;b>}\) i różniczkowalna w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\), oraz istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\), to można przedstawić ją za pomocą wzoru Taylora:

\(\displaystyle{ f(x)=f(x_o)+\frac{f'(x_o)}{1!}(x-x_o)+\frac{f''(x_o)}{2!}(x-x_o)^2+...+\frac{f^{(n-1)}{(n-1)!}(x-x_o)^{n-1}+R_n}\),a

\(\displaystyle{ R_n=\frac{f^{(n)}{n!}(x-x_o)}\), przy czym dla \(\displaystyle{ x_o=0}\) nazywamy funkcję szeregiem Maclurina...-- 4 mar 2010, o 20:58 --

[M Ciesielski]

W każdym razie chodzi o to, że sama całka \(\displaystyle{ \int \frac{\cos x}{x} \mbox{d}x}\) nie wyraża się przez funkcje elementarne, dlatego musisz rozwinąć funkcję podcałkową w szereg i całkować wyraz po wyrazie. Wzór na rozwinięcie cosinusa w szereg jest znane i znajdziesz na pewno w necie, podzielisz przez x i całkujesz po kolei.

...oraz istnieje taki punkt \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\), to można ...

Jaki punkt \(\displaystyle{ c \in (a,b)}\)?