Matematyka.pl

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny . Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.
Dochodzę do równania \(\displaystyle{ (q-1)(q^{5}+q ^{4}-q ^{2}+q+1)=0}\) i nie wiem jak dalej coś z tego wyciągnąć. A może jest jakiś inny sposób?

Jedynym miejscem zerowym tego w długim nawiasie jest liczba ujemna - bo jedynym tego samego ale bez (+1) jest zero, a całość jest ściśle rosnąca.

Ps. Kiedyś to robiłem mozesz poszukać - nie pamiętam aby były problemy.

Mam problem z tym zadaniem...
Znalazłem tylko to: 102088.htm
Ale tam zadanie różni się od powyższego. Tutaj jest narzucone, że ramię prostopadłe do podstaw wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Natomiast nie wiem, które będzie wynosić \(\displaystyle{ q}\), a które \(\displaystyle{ q^2}\).



1. przypadek. Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) będzie krótsza podstawa, to z Pitagorasa jest równanie:

\(\displaystyle{ (q^3-q)^2+1=(q^2)^2}\)

Z tego dodatnie wyniki to: \(\displaystyle{ q_1=1 \vee q_2= \sqrt{1+ \sqrt{2} }}\)

2. przypadek. Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) będzie drugim ramieniem, to z Pitagorasa jest równanie:

\(\displaystyle{ (q^3-q^2)^2+1=q^2}\)

Po przekształceniu: \(\displaystyle{ (q-1)(q^5-q^4-q-1)=0}\). Z wolframa wiem, że drugi nawias ma rozwiązanie: \(\displaystyle{ q \approx 1.49709}\)

Odpowiedź z książki wynosi: \(\displaystyle{ q_1=1 \vee q_2= \sqrt{1+ \sqrt{2} }}\)

Pytania:
1. Skąd mam wiedzieć który bok jest krótszy, czy ramie czy podstawa? Jeżeli przyjmę, że krótsza jest podstawa i wynosi \(\displaystyle{ q}\), to zadanie jest do rozwiązania. Co jeśli jest odwrotnie? Równanie z drugim Pitagorasem nie da się rozwiązać...
2. Dlaczego w odp. nie ma założenia, że \(\displaystyle{ q}\) musi być różne od 1? Wtedy trapez jest kwadratem, więc każdy bok jest najkrótszym a zarazem najdłuższym bokiem? bez sensu...

Można "założyć", że autor tego zadania w podręczniku miał na myśli to, jak liczymy boki PO KOLEI

dlaczego mamy zakładać, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\) ? Przecież wyszło jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ q_1 = 1}\) czyli dokładnie to, co mówisz o kwadracie..

Pozdrawiam

Więc moim zdaniem powinno być "Długości kolejnych boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny". Mam nadzieję, że na maturze nie będzie takich nieścisłości...

Mortify pisze:dlaczego mamy zakładać, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\) ? Przecież wyszło jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ q_1 = 1}\) czyli dokładnie to, co mówisz o kwadracie..

W którym przypadku jest jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ q=1}\) ? W tym i w tym przypadku są dwa rozwiązania, z czego \(\displaystyle{ q=1}\) należy odrzucić, bo moim zdaniem kwadrat nie ma najkrótszego boku

Hmm to już kwestia umowy, jak mamy rozumieć najkrótszy.. czy jako mniejszy równy długością od pozostałych czy jako mniejszy.

Ja bym się jednak upierał, że w kwadracie dowolny bok jest zarazem najkrótszy i najdłuższy.

Ups, niefortunnie się wyraziłem z tym "jednym" rozwiązaniem. Chodziło mi, że wśród rozwiązań otrzymaliśmy kwadrat.