Matematyka.pl

Tym razem \(\displaystyle{ G}\) to zbior tych par liczb rzeczywistych, gdzie pierwsza współrzedna jest różna od zera i działanie mamy tak okreslone:
1 sprawdzic czy jest to grupa nieprzemienna
2. podaj wzor na element odwrotny
3 znajdz pogrupe nietrywialna-nieskonczona..czy istnieje skonczona
4 czy istnieje idenpotent...?

[ Dodano: 19 Wrzesień 2006, 23:40 ]
\(\displaystyle{ (x, y)*(x', y') = (xx', xy' + y)}\), \(\displaystyle{ x \ne 0, x'\ne 0}\)

Jak poprzednio... odwzorowanie \(\displaystyle{ \phi\big((x,y)\big) \ = \ \left(\begin{array}{cc}x&y\cr0&1\end{array}\right)}\) definiuje homomorfizm rzeczonej struktury w grupę macierzy 2x2. Stąd:

Ad.1. TAK, jest to g-pa nieprzemienna ( (1,1)*(2,1)=(2,2), a (2,1)*(1,1)=(2,3) )
Ad.2.
\(\displaystyle{ (x,y)^{-1} \ = \ (x^{-1},-y\cdot x^{-1})}\)

Ad.3. np. podgrupa izomorficzna z liczbami rzeczywistymi z dodawaniem:
\(\displaystyle{ \{(1,y) : y\in\mathbb{R}\}}\)
A podgrupa skończona, to np:
\(\displaystyle{ \Big\{(1,0),\,(-1,c)\Big\}}\)

Ad.4. pewnie chodzi o idempotent.
To jest grupa, więc jedyny idempotent to element neutralny: (1,0).


... choć coś mi tu "śmierdzi" grupą typu Heisenberga...

Sir George napisał:

... choć coś mi tu "śmierdzi" grupą typu Heisenberga...

no własnie nie wiem..śmierdzi czy pachnie, ale zapach przeszedł już całe forum.....ps. sorry za tego "impotenta"..