Matematyka.pl

Mam tutaj kilka zadań z funkcji kwadratowej, i prosiłbym o sprawdzenie, czy dobrze rozwiązałem:

1. Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3=x(x-2)^{2}+7x}\)

rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3=x(x-2)^{2}+7x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3=x(x^{2}-4x-4)+7x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3=x^{3}-4x^{2}+4x+7x}\)
\(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}+3-x^{3}+4x^{2}-4x-7x}\)
\(\displaystyle{ 8x^{2}-11x+3=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=11^{2}-4*8*3}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{6}{18}=\frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{16}{16}=1}\)

2. Rozwiąż nierówność: \(\displaystyle{ 4x-8\geqslant-x^{2}+5x+2}\)

rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 4x-8\geqslant-x^{2}+5x+2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x-6\geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1-4*(-6)*1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25 \sqrt{\Delta}=5}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-4}{2}=-2}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{6}{2}=3}\)

\(\displaystyle{ x\in=(-\infty;-2>\cup<2;\infty)}\)

3. Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ (m+1)x^{2}+(2m-3)x+m=0}\) ma \(\displaystyle{ 1}\)rozwiązanie?

rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (m+1)x^{2}+(2m-3)x+m=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2m-3)^{2}-4m(m+1)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4m^{2}-12m+9-4m^{2}-4m}\)

\(\displaystyle{ -16m=-9 /:(-16)}\)
\(\displaystyle{ m=\frac{9}{16}}\)

4. Podaj wartość współczynników \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) funkcji \(\displaystyle{ y=ax^{2}+bx+1}\) jeżeli wierzchołek paraboli leży w punkcie \(\displaystyle{ W=(-2;-3)}\). Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

rozwiązanie:
\(\displaystyle{ W=(x_{w};y_{w})}\)
\(\displaystyle{ X_{w}=\frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ Y_{w}=\frac{-\Delta}{4a}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}-4ac}\)

\(\displaystyle{ X_{w}}\)

\(\displaystyle{ -2=\frac{-b}{2a} /*2a}\)
\(\displaystyle{ -4a=-b}\)
\(\displaystyle{ -4a+b=0}\)
\(\displaystyle{ b=4a}\)

\(\displaystyle{ Y_{w}}\)
\(\displaystyle{ -3=\frac{-(b^{2}-4ac)}{4a}}\)
\(\displaystyle{ -3=\frac{-b^{2}+4ac}{4a} /*4a}\)
\(\displaystyle{ 12a=-b^{2}+4ac}\)
\(\displaystyle{ c=1}\)
\(\displaystyle{ -b^{2}+4a-12a=0}\)


\(\displaystyle{ -(4a)^{2}+4a-12a=0}\)
\(\displaystyle{ -16a^{2}+4a-12A=0}\)
\(\displaystyle{ -16a^{2}-8a=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta 64-4*16}\)
\(\displaystyle{ \Delta=64-64}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=\frac{8}{-32}=-\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ b=4a}\)
\(\displaystyle{ b=4*-\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ b=-4}\)
\(\displaystyle{ a=-\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{4}x^{2}-4a+1}\)

\(\displaystyle{ \Delta=-4^{2}-4*1*-\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \Delta=16+1=17}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
funkcja ma 2 miejsca zerowe

1) W pierwszym zadaniu się lekko pomyliłeś, ale domyślam się że to przez przypadek, bo później już dobrze pisałeś, mianowicie druga linijka rozwiązania:
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4}\)

2) Przy przenoszeniu 2 na drugą stronę nie zmieniłeś znaku.

3) Dobrze

4)
\(\displaystyle{ -3=\frac{-b^{2}+4ac}{4a}}\)
Pomnożyłeś przez 4a i dlaczego zmieniłeś znak?
otrzymałeś:
\(\displaystyle{ 12a=-b^{2}+4ac}\)
tak więc zgubiłeś minusa.

To tak:

2. Powinna być:
\(\displaystyle{ 4x-8\geqslant-x^{2}+5x+2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x-6\leqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1-4*(-6)*1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=25 \sqrt{\Delta}=5}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-4}{2}=-2}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{6}{2}=3}\)

\(\displaystyle{ x\in=<-2;3>}\)

4.Powinno być:
\(\displaystyle{ -12a=-b^{2}+4ac}\)
\(\displaystyle{ -b^{2}+4a+12a=0}\)
\(\displaystyle{ -b^{2}+16a=0}\)
\(\displaystyle{ -16a^{2}+16a=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=256+64=320}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=\frac{-16-8\sqrt{5}}{-32}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=\frac{-16+8\sqrt{5}}{-32}}\)


\(\displaystyle{ b_{1}=4*\frac{-16+8\sqrt{5}}{-32}}\)
\(\displaystyle{ b_{2}=4*\frac{-16-8\sqrt{5}}{-32}}\)

czyli funkcja może mieć postać
\(\displaystyle{ y=4*\frac{-16+8\sqrt{5}}{-32}x^{2}+4*\frac{-16+8\sqrt{5}}{-32}x+1}\)
lub
\(\displaystyle{ y=4*\frac{-16-8\sqrt{5}}{-32}x^{2}+4*\frac{-16-8\sqrt{5}}{-32}x+1}\)

2) Znowu źle dwójkę przeniosłeś.
Skąd u Ciebie \(\displaystyle{ -8-2=-6}\)

2. Powinna być:

\(\displaystyle{ 4x-8\geqslant-x^{2}+5x+2}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x-10\leqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=1-4*(-10)*1}\)
\(\displaystyle{ \Delta=41 \sqrt{\Delta}=\sqrt{41}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{1+\sqrt41}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{1-\sqrt41}{2}}\)

\(\displaystyle{ x\in=<\frac{1-\sqrt41}{2};\frac{1+\sqrt41}{2}>}\)

Jeśli nie tak, to ja już nie wiem co robię źle ;-/

A takie pytanie czy 4. dobrze poprawiłem?

Bardzo, ale to bardzo dziękuję za pomoc.

2) Jest źle, jakim prawem zmieniłeś znak nierówności.