Matematyka.pl

Witam,

mam maly problem z ta metoda. Mianowicie nie wiem jak dokladnie wyznaczyc funkcje wiarygodnosci. Reszta nie sprawia mi wiekszych problemow.

Przyklad

\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \exp(- \frac{1}{2}x^2) \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = f _{\theta}(x _{1}) \cdot ... \cdot f _{\theta}(x _{n}) \ \theta \in \Theta}\)

Teraz krok ktorego nie rozumiem:

\(\displaystyle{ L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = (\frac{2}{\theta})^n \cdot (\prod_{i=1}^{n}x _{i}) \cdot e^{- \frac{1}{\theta} \cdot \sum_{i = 1}^{n}x _{i}^2}\)

I jeszcze jak by ktos mogl krok po kroku rozpisac logarytmowanie, to bylbym bardzo wdzieczny.

\(\displaystyle{ \ln L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = n \ln 2 - n \ln \theta + \sum_{i=1}^{n} \ln x _{i} - \frac{1}{\theta}\sum_{i = 1}^{n}x _{i}^2}\)

Dziekuje z gory.

Sprawdź dobrze funkcję gęstości, w wykładniku brakuje gdzieś \(\displaystyle{ \theta}\) (nie sprawdzałem obliczeń, ale jeżeli wzór na funkcję wiarygodności jest poprawny, to powinna być w mianowniku, zamiast 2).
Przy tym samym założeniu logarytm jest ok - z definicji, logarytm iloczynu to suma logarytmów, wzór na logarytm funkcji wykładniczej (i logarytm potęgi) też chyba znasz.

Tak, masz oczywiscie racje, prawidlowa funkcja gestosci brzmi:

\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \e^{- \frac{1}{\theta}x^2} \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)

Nadal jednak nie wiem jak przejsc z funkcji gestosci do funkcji wiarygodnosci. Jest na to jakis wzor?

Bardzo prosze o pomoc, sprawa jest calkiem pilna, bo jutro mam egzamin.

Pozdrawiam i dziekuje z gory.
Tomek

Tak jak we wzorze z pytania: mając n wyników i rozkład liczysz łączne prawdopodobieństwo (lub tu gęstość prawdopodobieństwa) realizacji wyniku jako iloczyn prawdopodobieństw pojedynczych wyników. Dalej zakładamy, że został zrealizowany przypadek najbardziej prawdopodobny (lub o największej gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu ciągłego) i wyznaczamy, dla jakiego parametru (parametrów) rozkładu jest spełnione to założenie.

Niestety za bardzo nie rozumiem...

Metoda największej wiarygodności zakłada że to co obserwujemy, to coś co ma największą szanse zaistnieć. Czyli, że to co obserwujemy jest typowe dla zjawiska, że mamy dobrą reprezentację.

Teraz korzystamy z niezależności prób - skoro są niezależne to ich łączna gęstość to iloczyn gęstości. Skoro wszystkie mają ten sam rozkład to wszystkie mają te same parametry a różnią się argumentem - wynikiem doświadczenia.

Dlatego wszędzie jest to samo \(\displaystyle{ \theta}\) a zamiast \(\displaystyle{ x[ ex] jest \(\displaystyle{ x_i[ ex] czyli wynik i-tego doświadczenia.}\)}\)

Bardzo dziekuje