Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt

[nikiel]

z czego wynika wzór
r=(a+b-c) dla trójkąta prostokątnego?
jak to zapisać tak poprawnie, matematycznie

[olazola]

Coś w tym wzorze nie gra, wiem że można udowodnić, taką równość
r=(ab)/(a+b+c) a to ma się nijak do tego twojego wzoru bo jak weźmiemy trójkąt 3, 4, 5 to z mojego wzoru wynika że promien jest równy 1 a z twojego 2

[nikiel]

bo ja się rąbnęłam tam ma być r=0,5(a+b-c)

[nikiel]

tylko że r=(ab)/(a+b+c) wcale niczego nie wyjaśnia potrzebuję szczegółów, analizy

[olazola]

Teraz to inna sprawa.
Wszystko się zgadza, tylko może być mały problem z rysunkiem ale postaram się to obrazowo wyjaśnić.
Mamy dany trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a,b i przeciwprostokątnej c. Wpisujemy w niego okrąg o promieniu r.
Prowadzimy promienie prostopadłe do każdego z boków.
W wyniku czego promienie dzielą te boki na następujące odcinki:
bok a podzielony zostaje na r i a - r
bok b podzielony zostaje na r i b - r
Następnie rysujemy odcinki łączące środek okręgu z wierzchołkami (wystarczy z dwoma bez kąta prostego), otrzymujemy trójkąty przystające, z tego wynika, że bok c dzieli się na odcinki długości
b - r i a - r. Radzę sobie to narysować.
Następnie rozpisujemy obwód tego trójkąta.
a+b+c = r+a-r+r+b-r+b-r+c-r
po przekształceniach otrzymujemy
r = (1/2)(a+b-c)

Jeśli chodzi o drugi wzór to tak samo rozpisujemy ale pola.

[Yavien]

Narysuj trojkat prostokatny ABC, o kacie prostym C oraz okrag wpisany w ABC styczny do boku AB w punkcie K, do BC w punkcie L, a do boku AC w punkcie M oznaczmy boki AB = c, BC = a, AC = b
Wiadomo, ze AM = AK, BK = BL, CM=CL. Zauwaz, ze CM = CL = r (promien okregu wpisanego)! Dlaczego?
Polowa obwodu = 1/2(a+b+c) = AM + MC + LB, a z drugiej strony to jest rowne
AM + MC + LB = MC + AK + KB = r + c
czyli 1/2(a+b+c) = r + c