Matematyka.pl

Krótsza podstawa trapezu ma długość \(\displaystyle{ 3\sqrt{6}}\) cm. Kąty przy tej podstawie mają miary 135st i 60st., a dłuższe ramię ma długość 18 cm. Oblicz pole tego trapezu.

Proszę o pomoc przy tym zadaniu, wytłumaczeniu. Z góry dzięki odp: 27(\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + 3) cm kwadr.

Narysuj sobie trapez ABCD (AB - podstawa, AD - ramię, kat przy wierzchołku C - 60 stopni)) oraz wysokości DD' i CC'. Długość wysokości oznacz przez h. Z trójkątów prostokątnych ADD' oraz BCC' o znanych kątach ostrych wyznacz długości odcinków |AD'| oraz |BC'| jako zależne od wysokości h. Teraz możesz zapisać:

\(\displaystyle{ |D'B|=|DC|-|BC'| \\ \\ |AB|=|AD'|+|D'B|}\)

Wstaw |D'B| z pierwszego do drugiego równania, podstaw wyznaczone wcześniej długości oraz dane podane w zadaniu i z otrzymanego równania wyznacz h a następnie oblicz pole powierzchni.

zacznijmy od rysunku. naszym zadaniem będzie obliczenie pól trójkątów i odjęcie ich od pola prostokąta.



miałaś już trygonometrię? tj. sinusy, cosinusy? obstawiam że tak, ale jeśli nie to napisz, poszukamy innego sposobu rozwiązania.

jak widać na rysunku tą przyległy kątowi 135 st. ma 45 st. (bo 135 + 45 = 180, czyli tyle ile ma kąt półpełny). możemy z tego obliczyć odcinek "a", np. z sinusa 45 st.

\(\displaystyle{ a/ 18 = sin 45 ^ {0}

a= \sqrt{2} /2 \cdot 18

a= 9 \sqrt{2}}\)

następnie korzystając z obliczonego boku "a" i tangensa 30 st. możemy obliczyć odcinek "b"

b/a = tg 30 st.
\(\displaystyle{ b/9 \sqrt{2}= \sqrt{3}/3

b= 3 \sqrt{6}}\)

możemy teraz obliczyć pola obu trójkątów i pole całego prostokąta:

trójkąt po lewej:
\(\displaystyle{ 1/2 \cdot a \cdot b = 1/2 \cdot 9 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{6} = 27 \sqrt{12} / 2 = 27 \sqrt{3}}\)

trójkąt po prawej:
\(\displaystyle{ 1/2 \cdot a^{2} = 1/2 \cdot (9 \sqrt{2})^{2} = 81}\)

prostokąt:
\(\displaystyle{ a \cdot (3 \sqrt{6} + a)= 9 \sqrt{2} \cdot (3 \sqrt{6} + 9 \sqrt{2}) = 27 \sqrt{2} + 162}\)

no i odejmowanie


można też to zrobić na inny sposób, korzystając z tej samej zasady tj. że "\(\displaystyle{ 3 \sqrt{6} + a = b + c}\) i z tego obliczyć dłuższą podstawę "c" (bo mamy już obliczone a i b)

wtedy \(\displaystyle{ c = 3 \sqrt{6} + 9\sqrt{2} - 3 \sqrt{6} = 9\sqrt{2}}\)

z tego już łatwo obliczyć pole trapeza, bo masz wysokość (a), obie podstawy (\(\displaystyle{ 3 \sqrt{6} oraz 9\sqrt{2}}\)

wzór na pole trapezu chyba znasz



PS. czy ktoś może mi wyjaśnić jak wpaść na to, że b jest równe długości krótszej podstawy?

tak miałam

gohanka pisze:...
b/a = tg 30 st.
\(\displaystyle{ b/9 \sqrt{2}= \sqrt{3}/3
b= 3 \sqrt{6}}\)
...
PS. czy ktoś może mi wyjaśnić jak wpaść na to, że b jest równe długości krótszej podstawy?

Popatrz na cytowane.

-> piasek

wiem, przecież sama napisałam
po prostu zastanawiam się czy da się tę zależność że dłuższa podstawa jest równa wysokości oraz że "b" jest równe krótszej podstawie wpaść od razu. po przez to że te odcinki są równe mam wrażenie, ze może być jakiś "trik" na rozwiązanie zadania w kilku ruchach.

To, że dwie wielkości wychodzą z obliczeń jednakowe nie pozwala nam na przyjęcie ich jednakowości bez tych obliczeń.

Co do tego, że pisałaś - widziałem - ale pytanie ,,jak na to wpaść" sugerowało przepisanie.

ok, to cieszę się że nie jestem jedyną która uważa że nie da się do tych wyników dojść w prostszy sposób