Środkowa trójkąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Frewew
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 24 lut 2010, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Środkowa trójkąta

Post autor: Frewew » 28 lut 2010, o 00:31

Jak udowodnić prawdziwość wzoru: \(S _{a}= \frac{1}{2} \sqrt[2]{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\) Próbowałem z twierdzenia cosinusów, ale coś mi nie wychodzi

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Środkowa trójkąta

Post autor: Crizz » 28 lut 2010, o 10:57

Z twierdzenia cosinusów: niech \(\alpha\) będzie jednym z kątów między bokiem \(a\) oraz rozważaną środkową \(s_{a}\) (a dokładniej tym kątem, który jest jednym z kątów trójkąta złożonego z boków \(\frac{1}{2}a,s_{a},c\)). Wówczas z twierdzenia cosinusów: \(c^{2}=s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}-as_{a}cos\alpha\) ...(1) \(b^{2}=s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}-as_{a}cos(180^{o}-\alpha)\) ...(2) Drugie z równań przekształcamy, korzystając ze wzoru redukcyjnego: \(b^{2}=s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{4}+as_{a}cos\alpha\) ...(3) Równania (1) i (3) dodajemy stronami: \(b^{2}+c^{2}=2s_{a}^{2}+\frac{a^{2}}{2}\) \(2s_{a}^{2}=b^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}}{2}\) \(s_{a}^{2}=\frac{ 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4} } |\sqrt{ \quad }\) \(s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\)

ODPOWIEDZ