Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) i \(\displaystyle{ a+b+c=3}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ \frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a} \le \frac{3}{5}+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{15}}\)

Zapiszmy ją jako \(\displaystyle{ \sum \frac{15}{2+a^2b} \le 9+2\sum a^3}\). Na mocy HM-GM mamy
\(\displaystyle{ 5\sum \frac{3}{1+1+\frac{1}{\frac{1}{a^2b}}}\le 5\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a^2b}} = 5\sum \frac{1}{a} \sqrt[3]{\frac{a}{b}}}\)

Z ważonego Jensena mamy nierówność dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^\frac{1}{3}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ 5\sum \frac{1}{a} f(\frac{a}{b})\le 5 \sum \frac{1}{a} f\left( \sum \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{a}}{\sum \frac{1}{a}} \right)=5\sum \frac{1}{a}}\)

Żeby dowieść nierówności wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ 5\sum \frac{1}{a} \le 9+ 2\sum a^3}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 2x^3+3-\frac{5}{x} \ge 11(x-1) \;\; \Leftrightarrow \; \; 2\frac{(x-1)^2}{x} \left( x^2+2x+3 \right) \ge 0}\), więc
\(\displaystyle{ 2\sum a^3 +9 -5\sum \frac{1}{a} \ge 11 \sum (a-1)=0}\)

Mam nadzieję, że się nie pomyliłem

Masz błąd na samym początku, bo wziąłeś w drugiej linijce zamiast \(\displaystyle{ a^2b}\) \(\displaystyle{ 1/(a^2b)}\)

...
No cóż, będę próbował dalej. Swoją drogą ciekaw jestem jak tego nie zauważyłem wcześniej

Ale to jest przecież tylko literówka i frej zastosował nierówność o średnich jakby tam było \(\displaystyle{ a^2b}\).

Ja bym się przyczepił jak już to do dalszej części. Jeśli chodzi o wagi to o ile się nie mylę, to muszą się one sumować do 1, natomiast w poleceniu jest, że suma odwrotności wag wynosi 3.

przyjrzyj się dokładniej. wagi są równe
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{a} }{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}\) itd

Już widzę. Racja

Ech, jak łatwo sprawić, żebym uwierzył w błąd w moim rozwiązaniu Już poprawiam zapis, do którego przyczepił się kubek1, Mam nadzieję, że teraz jest OK. Umie ktoś udowodnić tę nierówność ładniej? Chętnie zobaczyłbym jakieś zgrabniejsze rozwiązanie niż te moje.

jeszcze jedna literówka- jak używasz Jensena to tam po lewej stronie powinno być 5 a nie 6.