Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba \(\displaystyle{ \frac{n}{3} + \frac{ n^{2} }{2} + \frac{ n^{3} }{6}}\) jest całkowita.

Z góry dziękuję za pomoc.

Do wspólnego mianownika- zagadnienie sprowadza się do udowodnienia podzielności przez 6- a wtedy wystarczy rozbić licznik na iloczyn 3 składników.


Pozdrawiam.

;/ nie bardzo rozumiem

Do wspólnego mianownika

Rozumiesz? To to zrób i napisz jak to będzie wyglądać. Potem porozmawiamy dalej.

\(\displaystyle{ \frac{2n}{6} + \frac{3 n^{2} }{6} + \frac{ n^{3} }{6}}\)

-- 25 lutego 2010, 14:21 --

Może źle napisałem. Nie chodziło mi o to że nie rozumiem tylko nie wiem jak dojść do iloczynu 3 składników. \(\displaystyle{ \frac{2n}{6} + \frac{3 n^{2} }{6} + \frac{ n^{3} }{6} = \frac{n(2+3n+ n^{2}) }{6} = \frac{n(2+n(3+n))}{6}}\) I co dalej z tym?

\(\displaystyle{ n(2+3n+ n^{2})}\)
Wzór na deltę (i pierwiastki f. kwadratowej) znamy?


Pozdrawiam.

Wzór na deltę niestety nie znam ale doszedłem do tego:
\(\displaystyle{ \frac{n(1+ n^{2})+ n^{2} +n}{6} = \frac{n(1+ n^{2})+ n(1+n) }{6} = \frac{n(1+n) ((1+n)+1)}{6} = n(1+n)((1+n)+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\) Więc chyba wykazałem że iloczyn tych składników jest podzielny przez 3 i przez 2. A skoro jest podzielny przez 3 i 2 to wiadomo że również przez 6 tak?

Dziękuję za pomoc

Wszystko ok. Przydałoby się dopisać tylko dlaczego to jest podzielne przez 3 i 2, i nikt się nie przyczepi.

Ok dzięki