Matematyka.pl

Mam do zrobienia następujące zadanko, zrobiłem je w połowie jednak dalszej części tzn. obliczenia pola zabardzo nie umiem.Oto ono:

Oblicz długość wysokości trójkąta o wierzchołkach A=(1,4), B=(-3,-2) i C=(5,2), opuszczonej z wierzchołka A, a następnie oblicz pole tego trójkąta.

I tak oto wykonuję następujące czynności:
1) Odpowiedni rysunek
2) Obliczam odległość między punktami B i C ze wzoru \(\displaystyle{ a=|BC|=\sqrt{[5-(-3)]^{2} + [2-(-2)]^{2}}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}}\)

3)Obliczam punkt ,nazwijmy go A', który jest punktem przecięcia się prostej |BC| i do niej prostopadłej przechodzącej przez punkt A (będzie on potrzebny do obliczenia wysokości h) więc:
BC--->
y=ax+b
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}-2=-3a+b\\2=5a+b\end{array}}\)
2=5a-2+3a
4=8a //:8
a=1/2
b=-2+3/2
b=-1/2
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\)

a=-2
y=-2x+b
A=> 4=-2*1+b
b=6
\(\displaystyle{ y=-2x+6}\)

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\\y=-2x+6\end{array}}\)
i tak po rozwiązaniu tego ukł. równań wychodzi że \(\displaystyle{ A'=(\frac{13}{5},\frac{4}{5})}\)
4)Obliczam wysokoąć h , która jest opuszczona z wierzchołka A:
\(\displaystyle{ h=|AA'|=\sqrt{(1-\frac{13}{5})^{2} + (4-\frac{4}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{64}{5}+\frac{256}{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}}\)

5) Teraz właśnie powinienem obliczyć pole tego trójkąta (dodam że wynik powinien wyjść P=16 -wynik jest w odp. w książce) tylko nie wiem w jaki sposób (oczywiście wzór na pole znam:) ) Proszę o pomoc

Masz wszystko dobrze. Wstaw do wzoru

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah}\)

policzone przez siebie wartości i otrzymasz rzeczywiście 16.

dla \(\displaystyle{ A(x_{a}, y_{a}), B(x_{b}, y_{b}), C(x_{c}, y_{c})}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}| ft[\begin{array}{ccc}x_{b}-x_{a}&y_{b}-y_{a}\\x_{c}-x_{a}&y_{c}-y_{a}\end{array}\right] |}\)

tu zamiast macierzy powinien byc wyznacznik

Dzięki za pomoc !!! Macie ode mnie po punkcie pomocy

Zamiast obliczać punkt przecięcia prostej zawierającej wysokość z prostą BC, wystarczy obliczyć odległość punktu A od prostej AB. Będzie szybciej.