Matematyka.pl

Rozwiązać równanie różnicowe \(\displaystyle{ a_{n}-2a_{n-1}+a_{n-2}=1}\) z warunkami: \(\displaystyle{ a_{0}=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{1}=0}\)

Będę bardzo wdzięczny za pomoc

Znasz jakieś twierdzenie o postaci rozwiązań równań różnicowych, liniowych?

Dzięki za... ale nie mam pojęcia jak twoja odpowiedz (pytanie) ma pomóc.

tu znajdziesz rozwiązanie ogólne:
https://www.matematyka.pl/25578.htm

ptaszyn pisze:Dzięki za... ale nie mam pojęcia jak twoja odpowiedz (pytanie) ma pomóc.

Jeżeli chcesz rozwiązać takie równanie to domyślam się, że mieliście takie zadania na zajęciach a tam była przedstawiona potrzebna teoria. Tutaj nikomu nie chce się tego wklepywać. To napisz konkretnie czego nie rozumiesz z teorii.

Oczywiście mogę się mylić, możliwe że nie miałeś teorii, to ten przykład jest akurat mało skomplikowany, można go "policzyć na palcach" np przez rozpisanie \(\displaystyle{ a_n}\) później \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) itd.. widać pewną regułę.

pingu pisze:tu znajdziesz rozwiązanie ogólne:
https://www.matematyka.pl/25578.htm

nie bardzo, ta rekurencja nie jest liniowa

temat stary, ale może jeszcze komus kiedyś sie przyda przykładowe rozwiązanie

r. ch.:\(\displaystyle{ r^2-2r+1=0}\) mamy dwukrotny pieriwastek\(\displaystyle{ r=1}\)
RORJ: \(\displaystyle{ a_{n}=C_{1}+C_{2}n}\)
RSRN przewidujemy jako:\(\displaystyle{ a_{n}=An^2}\) , bo \(\displaystyle{ r=1}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym r. ch.
Wstawiamy do wyjściowego równania i otrzymujemy \(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}}\)
RORN:\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2}n^2+C_{1}+C_{2}n}\) , po wstawieniu warunków początkowych dostajemy:
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n+1}\)

równanie można też rozwiązć metodą z-przekształcenia, ale takie równanie jak to, szybciej raczej przewidzieć