Matematyka.pl

Wykaż, że\(\displaystyle{ a,b \in (0;1) to \in log _{a} b+log _{b}a>log100}\)

\(\displaystyle{ log _a b = \frac {log a}{log b}}\)
korzystając z tej zależności mamy
\(\displaystyle{ \frac {log a}{log b}+\frac {log b}{log a}>2}\)
sprowadzamy do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac {(log a)^2 + (log b)^2}{log a \cdot log b}>2}\)
mnożymy stronami przez mianownik
\(\displaystyle{ {(log a)^2 + (log b)^2}>2 \cdot {log a \cdot log b}}\)
przenosimy prawą stronę na lewo
\(\displaystyle{ {(log a)^2 + (log b)^2}-2 \cdot {log a \cdot log b}>0}\)
zauważamy wzór skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ {(log a - log b)^2}>0}\)
i już