Matematyka.pl

Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\lim_{ n\to\infty} |\sin 2x|^n}\) jest w każdym punkcie \(\displaystyle{ x_{0} \in R}\) ciągła albo ma w tym punkcie nieciągłość usuwalną.

Ta funkcja ma wartość 1 dokładnie tam gdzie \(\displaystyle{ |\sin 2x|=1}\), a dla pozostałych argumentów przyjmuje 0. Można ją więc uciąglić kładąc wszędzie 0 (zmodyfikujemy tylko przeliczalnie wiele punktów).

Wiesz, tak naprawdę to dużo mi to niestety nie mówi, bardziej zależy mi na dokładnym sposobie rozwiązania - co i jak rozpisać, co policzyć.

No dobra, zacznijmy od takich pytań:
a) Jakie wartości przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ \sin 2x}\) dla \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\)?
b) Jaka jest granica ciągu \(\displaystyle{ q^n}\), w zależności od \(\displaystyle{ q \ge 0}\)?

a) od -1 do 1
b) nieskończoność jeżeli \(\displaystyle{ q>1}\), \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ q=1}\). No i jeszcze jeżeli \(\displaystyle{ |q|<1}\) to \(\displaystyle{ 0}\)

Tak więc \(\displaystyle{ |\sin 2x|}\) będzie przyjmować wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\). Jak dalej to pociągnąć?

kthxb pisze: Tak więc \(\displaystyle{ |\sin 2x|}\) będzie przyjmować wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\). Jak dalej to pociągnąć?

Więc zależnie od \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ f(x)=0}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=1}\). Należy tylko rozstrzygnąć, dla jakich \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ |\sin 2x|=1}\).

no dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}}\). To jest koniec?

nie tylko, ta funkcja jest okresowa, więc będzie nieskończenie wiele takich punktów