Matematyka.pl

Podstawmy \(\displaystyle{ f(y):=x}\), mamy: \(\displaystyle{ f(0) = f(x) + x^2 + f(x) - 1}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ f(0)= a}\). Dalej, dostajemy \(\displaystyle{ f(x) = \frac{a+1-x^2}{2} (1)}\). Podstawmy teraz \(\displaystyle{ x:=0, y:=0}\) Dostajemy \(\displaystyle{ f(-a)=f(a) + a -1}\), co w połączeniu z \(\displaystyle{ (1)}\) daje nam:
\(\displaystyle{ \frac{a+1-a^2}{2} = \frac{a+1-a^2}{2} + a-1}\), skąd dostajemy a = 1. Czyli, wzór naszej funkcji to \(\displaystyle{ f(x) = 1 - \frac{x^2}{2}}\). Jednak, podstawiając do równości w treści dostajemy sprzeczność, co dowodzi temu, że nie istnieją funkcje spełniające warunki zadania.