Matematyka.pl

zbadaj, czy struktura złozona z wszystkich par dwoch róznych liczb rzeczywistych..., z działaniem określony poniżej jest grupą...? Jesli tak, to znajdz element neutralny, odwrotny...., zbadaj abelowość, oraz znajdż o ile to możliwe nietrywialna podgrupę skończoną.

mol_ksiazkowy pisze: z działaniem określony poniżej jest grupą...?

jakoś nie widzę tego działania

Trochę pisania jest, a ja nie mam czasu, zostala mi do sprawdzenia łączność i element odwrotny (na kartce). I na końcu nietrywialna podgrupa skończona. Zrobię po niedzieli ( jak zdąże przed kimś innym ).

ok, spoko, napisz co masz, tj element neutralny, wzor na odwrotny no i czy to działanie jest poprawnie określone, abelowosc bedzie?, a jest podgrupa rzedu dwa , moze i inne...?!

Sprawdzam, czy działanie nie wykracza poza zbiór:
(x, y) i (x', y') należą do grupy
\(\displaystyle{ (x, y)*(x', y') = (xx' + yy', xy' + x'y)}\)
Jeśli działanie nie wykracza poza zbiór to spełnione jest:
xx' + yy'≠ xy' + x'y
czyli
x(x'-y') ≠ y(x'-y')
x≠y i x'≠y'

Element neutralny to (1,0)

Element odwrotny, szukam elementu odwrotnego do (a,b), korzystam z tego, że \(\displaystyle{ (a,b)*(a,b)^{-1}=e}\)
\(\displaystyle{ (a,b)^{-1}=(x,y)}\)
\(\displaystyle{ (a, b)*(x, y) = (ax + by, ay + xb) =(1,0)}\)
\(\displaystyle{ (x,y)=(\frac{a}{a^2-b^2},\frac{-b}{a^2-b^2})}\)

Łączność
\(\displaystyle{ ((x, y)*(x', y'))*(a,b) = (xx' + yy', xy' + x'y)*(a,b)=\\=(axx'+ayy'+bxy'+bx'y,axy'+x'ya+bxx'+byy')=\\=(x,y)*(ax'+by',ay'+bx')=(x,y)*((x',y')*(a,b))}\)

Czyli jest to grupa.

Abelować będzie (wystarczy zamienić primy w definicji działania )

Podgrupa może po niedzieli.

ps. zadanko takie jakby "zespolone"

Moje trzy grosze...

Zauważ, że odwzorowanie \(\displaystyle{ (x,y)\, \mapsto \, ft(\begin{array}{cc}x&y\cr y&x\end{array} \right)}\)
jest homomorfizmem w grupę macierzy 2x2 z mnożeniem...

[ Dodano: 14 Wrzesień 2006, 16:36 ]
a propos nietrywialnej podgrupy skończonej: widać, że tworzy ją np. zbiór: \(\displaystyle{ \left\{\, (1,0)\, , \, (0,1)\, \right\}}\).

Pozdrawiam...

ok!!, i takze \(\displaystyle{ H=\left\{\, (1,0)\, , \, (-1,0)\, \right\}}\).

Hmm... jest problem: jaki jest element odwrotny do (1,-1) ?

IMHO to nie jest grupa...

tak to jest jak się robi zadania dzień przed egzaminem

oj! heh... to moze wezmy ....\(\displaystyle{ G=\{(x,y): |x| |y|} |}\)bedzie ok?!

mol_ksiazkowy: taajest, to jest myśl... a dokładniej \(\displaystyle{ x^2-y^2 \, \, 0}\)

(co widać z reprezentacji macierzowej)

boo07 napisał:

ps. zadanko takie jakby "zespolone...

no wlasnie, ale we wzorze na element odwrotny jest "minus"a nie plus, i stad te małe klopoty...