równanie z parametrem
: 20 lut 2010, o 16:32
Znajdz wszystkie takie \(\displaystyle{ h}\) zeby równanie \(\displaystyle{ x^4 + (h - 1)x^3 + x^2 + (h - 1)x + 1 = 0}\) posiadało nie mniej niż dwa różne ujemne pierwiastki
Jest to równanie "zwrotne".
Zauważ, że zero nie jest pierwiastkiem tego równania więc można je podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ x^2}\)
Po uporządkowaniu otrzymamy:
\(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}+(h-1)(x+\frac{1}{x})+1=0}\)
Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)
Zatem \(\displaystyle{ x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=t^2-2}\)
Czyli równanie ma postać
\(\displaystyle{ t^2-2+(h-1)t+1=0 \Leftrightarrow t^2+(h-1)t-1=0}\)
Teraz powinno być już łatwiej, ale jak coś to pytaj (pamiętaj o podstawieniu i o tym, że chodzi o pierwiastki równania wyjściowego)