Matematyka.pl

Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 24, a miara kąta wewnętrznego zawartego między nimi wynosi π/3. Wyznacz najmniejszą wartość obwodu tego trójkąta.

Należy tutaj zastosować twierdzenie kosinusów....
Niech \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) będą długościami boków tego trójkąta i kąt \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3}}\) zawarty między bokami \(\displaystyle{ a \ i b}\) oraz \(\displaystyle{ a+b = 24}\)
Z twierdzenia kosinusów mamy: \(\displaystyle{ c^2 = a^2+b^2-2ab\cos \alpha = a^2+b^2-2ab\cos\frac{\pi}{3}=a^2+b^2-2ab\cdot\frac{1}{2}=a^2+b^2-ab}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b = 24\\ c^2 =a^2+b^2-ab \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b = 24-a\\ c = \sqrt{a^2+b^2-ab} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b = 24-a\\ c = \sqrt{a^2+(24-a)^2-a(24-a)} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b = 24-a\\ c = \sqrt{3a^2-72a+576} \end{cases}}\)
Dla jakiego \(\displaystyle{ a}\) pierwiastek: \(\displaystyle{ \sqrt{3a^2-72a+576}}\) jest najmniejszy????
Taki pierwiastek jest najmniejszy z możliwych wtedy, gdy liczna pod pierwiastkiem jest najmniejsza...
Zauważmy pod pierwiastkiem mamy trójmian kwadratowy, którego wykres to parabola z ramionami do góry, a zatem najmniejsza wartość tego wyrażenia to wierzchołek tej paraboli czyli: \(\displaystyle{ a= \frac{-(-72)}{6} =12}\)
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a=12 \\b=24-a=24-12=12 \\ c = \sqrt{3a^2-72a+576}= \sqrt{144}= 12\end{cases}}\)
Czyli mamy trójkąt równoboczny.... \(\displaystyle{ O = a+b+c = 3a =36}\)

nie prościej zastosowac wzór na pole trójkąta P=1/2 *a*b*sin60, i obliczyć wierzchołek paraboli? -- 16 kwi 2011, o 12:19 --a nie, zle przeycztalem treść zadania :>