Matematyka.pl

Jakiej mocy jest zbiór wszystkich skończonych / nieskończonych / przeliczalnych / mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) ?

Jakieś podpowiedzi?

Słowem ile jest wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)? Skoro \(\displaystyle{ |\mathbb{R}|=\mathfrak{c}}\), to odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\).

dramacik pisze:Słowem ile jest wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

Niezupełnie, to są cztery osobne pytania...

Podzbiorów skończonych jest continuum, tyleż samo przeliczalnych. Nieskończonych i mocy continuum jest \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\).

JK

Jan Kraszewski pisze:Podzbiorów skończonych jest continuum, tyleż samo przeliczalnych. Nieskończonych i mocy continuum jest \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\).

A zbiory przeliczalne to nie są nieskończone?


Pozdrawiam.

miki999 pisze:

Jan Kraszewski pisze:Podzbiorów skończonych jest continuum, tyleż samo przeliczalnych. Nieskończonych i mocy continuum jest \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\).

A zbiory przeliczalne to nie są nieskończone?

Są, ale nieskończone niekoniecznie są przeliczalne - mamy tu dwie różne rodziny zbiorów.

JK

Ok, nie wyraziłem się wystarczająco jasno: oprócz podania mocy, prosiłbym o podanie kilku zdań komentarza

Do wszystkich, czy do któregoś?

JK

Dobrze by było do wszystkich bo jakoś nie widzę tego

Skończone: ile jest podzbiorów 1-el.? 2-el? 3-el?...

Mocy continuum: warto pokazać, że funkcji z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest nie więcej niż tychże podzbiorów (bo każda taka funkcja to podzbiór produktu, mocy continuum).

Przeliczalne: znaleźć surjekcję ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}^\mathbb{N}}\) na zbiór tychże podzbiorów.

Nieskończone: skoro tych mocy continuum jest \(\displaystyle{ 2^\cont}\)...

JK-- 23 lutego 2010, 17:55 --

Jan Kraszewski pisze:Nieskończone: skoro tych mocy continuum jest \(\displaystyle{ 2^\cont}\)...

Miało być:

Nieskończone: skoro tych mocy continuum jest \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\)...

Odruchowo wstawiłem mój lokalny skrót...

JK