Matematyka.pl

obliczyc objetosc bryły ograniczonej stożkeim \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\) i paraboloida \(\displaystyle{ z=6-x^2-y^2}\)

możesz policzyć tę objętość z całki potrójnej, podwójnej, pojedynczej.
Pokażę Ci jak można zrobić to z pojedynczej, bo wydaje mi się, że tak będzie najszybciej.

Jak sobie narysujesz, to zobaczysz, że bryła powstaje z obrotu krzywych wokół osi OZ krzywej y=f(z)
\(\displaystyle{ y=z; dla z\in (0,2>}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{6-z}; dla z\in (2,6)}\)

ogólnie taką objętość oblicza się \(\displaystyle{ V=\Pi \int_{a}^{b}\(y^{2})dz}\)

\(\displaystyle{ V=\Pi\int_{0}^{2} \(z^{2})dz + \Pi\int_{2}^{6}\(6-z)dz}\)

dalej już wystarczy obliczyć całki podstawić granice i zsumować.

mozesz mi rozwiazac za pomoc całki podwójnej ??

za pomocą całki podwójnej :

\(\displaystyle{ \int\int_{\Omega}\[6-x^{2}-y{2} - \sqrt{x^{2}+y^{2}}]dxdy}\)
\(\displaystyle{ \Omega: x^{2}+y^{2}=4}\)

wprowadzasz współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ y=\rho sin\phi, x= \rho cos\phi, J=\rho, \rho\in (0;2), \phi\in (0;2\Pi)}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}\int_{0}^{2\Pi}(6-\rho^2-\rho)\rho d\phi\ d\rho}\)


Jak policzysz w jednym i drugim ma wyjść tyle samo :
\(\displaystyle{ V=\frac{32\Pi}{3}}\)

Jak obliczyc/skad wiesz ze obszar Ω: x^2+y^=4???

porównaj sobie proszę równania na stożek i na paraboliodę. dla ułatwienia za \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) możesz podstawić sobie jakąś literkę np x. Możesz sobie łatwo wyobrazić że stożek i paraboloida przetną się w pewnym miejscu a to przecięcie jest okręgiem , którego promień chcesz znaleźć. Po rozwiązaniu równania kwadratowego \(\displaystyle{ x=(6-x)^{2}}\) otrzymujesz dwa rozwiązania x=9 lub x=4.
Skąd te dwa rozwiązania ?

Otóż stożek przecina paraboloidę w dwóch miejscach : nad płaszyzną XOY po stronie dodatnich z i pod płaszczyzną XOY gdzie rozciąga się ujemna oś z. Jednak Ciebie interesuje ta część "na górze" bo tam płaszczyzna wraz z wierzchołkiem paraboloidy okrywa z góry stożek w ten sposób tworząc skończoną bryłę, której objętość jesteś w stanie policzyć.

Myślę, że można byłoby dodawać do tej objętości np. tą która dodatkowo jest ograniczona przez paraboloidę na wysokości z=-3, ale ten przypadek wykluczony jest już w treści bo pod pierwiastkiem kwadratowym znajdować się mogą liczby nieujemne.

Mam nadzieję, że wszystko zrozumiane. W razie wątpliwości, proszę pytać.