Matematyka.pl

czy może ktoś pomóc rozwiązać takie zadanie ? nie mam pojęcia jak się za to zabrać :
korzystając z definicji całki oznaczonej obliczyć granicę ciągu:


\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+...+\frac{n}{n^{2}+n^{2}})}\)

A znasz tą definicję ?

czytałem ale mało mi to dało

Wskazowka:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{n^2}{n^2 + i^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+ (\frac{i}{n})^2}}\)
(podzileiłem licznik i mianownik tego wyrażenia pod sumą przez \(\displaystyle{ n^2}\)).
TEraz pytanie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+ (\frac{i}{n})^2}=?}\)
Podpowiem, że zamaist znaku "?" powinna pojawić się konkretna całka.

całka z wyrażenia po sumie ?

Poczytaj:
https://matematyka.pl/33794.htm
Jak będziesz miał juz jakiś pomysł na tą całkę to napisz i się sprawdzi czy jest ok

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{1+x^{2}}}\) ??? ; /

Dokładnie to:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{ \mbox{d}x }{1+x^2}}\)