Matematyka.pl

Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregu: \(\displaystyle{ \sum_{ n=2 }^{\infty} \frac{1}{(ln{n})^{ln{n}}}}\)

dla dostateczne dużych n mamy \(\displaystyle{ log n^{log n} > n^{2}}\)-- 17 lut 2010, o 15:24 --sory za te hieroglify \(\displaystyle{ log n^{log n} > n^{2}}\) dla dostatecznie dużych n

a jakieś uzasadnienie?

wystarczy pokazać że \(\displaystyle{ ln x^{ln x} > x^{2}}\) dla dostatecznie dużych x

niech \(\displaystyle{ x = e^{t}}\)
po podstawieniu otrzymamy \(\displaystyle{ t^{t} i e ^{2t}}\)
jeśli będzie \(\displaystyle{ t > e^{2} to t^{t} > e ^{2t}}\)

więc wystarczy wziąść \(\displaystyle{ x > e^{ e^{2} }}\) i nierówność będzie spełniona