Matematyka.pl

wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{ \infty }}\) i \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty }}\)

a)\(\displaystyle{ A_{n} =\{(x,y):y+x^2 \ge n\}}\)

b)\(\displaystyle{ B_{n}=\{(x,y):y^2+x^2 \ge n^2\}}\)

\(\displaystyle{ \bigcap A_n=\{ (x,y) : (\forall n \in \mathbb{N})\quad y+x^2\ge n \}=0}\)
Ponieważ jest \(\displaystyle{ A_i \subseteq A_j}\) dla \(\displaystyle{ i>j}\) to:
\(\displaystyle{ \bigcup A_n=A_1}\)
W przykładzie b ta sama sytuacja, tylko okręgi zamiast parabol.
\(\displaystyle{ \bigcap B_n=0}\)

\(\displaystyle{ \bigcup B_n=B_1}\)

Zwłaszcza, że \(\displaystyle{ 0}\) nie jest elementem żadnego ze zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\)- bo elementami \(\displaystyle{ A_n}\) nie są liczby tylko pary uporządkowane.



Pozdrawiam.