[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

[adamm]

Niech P będzie punktem we wnętrzu trójkąta ABC, takim, że \(\displaystyle{ \sphericalangle APB-\sphericalangle ACB=\sphericalangle APC-\sphericalangle ABC}\). Niech D i E będą środkami okręgów wpisanych w tójkąty APB i APC. Udowodnij, że BD, CE i AP przecinają się w 1 punkcie.

jeśli masz to wrzuć rozwiązanie i niech ktoś podrzuci coś bardziej robialnego jako nowe

[Burii]

To zadanie pochodzi z IMO 1996

Następny problem:

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg. Pokazać, że ortocentra trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ BCD}\), \(\displaystyle{ CDA}\) i \(\displaystyle{ DAB}\) leżą na jednej prostej.

[adamm]

Ustalmy środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABCD}\) jako \(\displaystyle{ 0}\), ortocentra odpowiednich trójkątów oznaczamy przez \(\displaystyle{ h_1,h_2,h_3,h_4}\) (\(\displaystyle{ h_1=a+b+c}\) itd...), chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{h_1-h_3}{h_2-h_3}:\frac{h_1-h_4}{h_2-h_4}\in \mathbb{R}}\), ale \(\displaystyle{ \frac{h_1-h_3}{h_2-h_3}:\frac{h_1-h_4}{h_2-h_4}=\frac{b-d}{b-a}:\frac{c-d}{c-a}}\) co jest rzeczywiste z cykliczności \(\displaystyle{ ABCD}\) qed. Zaraz coś wrzucę.

-- 11 lut 2012, o 12:23 --

coś nietrudnego:
dany jest pięciokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCDE}\), w którym \(\displaystyle{ DC=DE}\) i \(\displaystyle{ \angle DCB=\angle DEA = 90^{\circ}}\). Niech \(\displaystyle{ F}\) będzie punktem na boku \(\displaystyle{ AB}\) wyznaczonym przez stosunek \(\displaystyle{ \frac{AF}{BF}=\frac{AE}{BC}}\). Pokaż, ze \(\displaystyle{ \angle FCE = \angle ADE, \angle DEC =\angle BDC}\).

[timon92]

jakby co to w zadaniu Buriiego miało być "wykaż że ortocentra leżą na okręgu"

adamm, popraw zatem swoje rozwiązanie

[Burii]

Przepraszam za pomyłkę... Treść powinna być taka: Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) OPISANY na okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ I}\). Pokazać, że ortocentra trójkątów \(\displaystyle{ IAB}\), \(\displaystyle{ IBC}\), \(\displaystyle{ ICA}\) i \(\displaystyle{ IDA}\) leżą na jednej prostej.

[adamm]

ok, w każdym razie przy wpisanym warunek z ilorazem rzeczywistym daje współliniowość lub cykliczność, wiec w tamtym wypadku jest ok

[timon92]

nie jest ok, bo wtedy musisz jeszcze uzasadnić, że one nie leżą na prostej

potem ludzie się dziwią że tracą punkty za niesprawdzenie wszystkich konfiguracji

[adamm]

rzeczywiście

[timon92]

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) OPISANY na okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ I}\). Pokazać, że ortocentra trójkątów \(\displaystyle{ IAB}\), \(\displaystyle{ IBC}\), \(\displaystyle{ ICA}\) i \(\displaystyle{ IDA}\) leżą na jednej prostej.

wskazówka:    

Można skorzystać z faktu: linia środkowa trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) równoległa do \(\displaystyle{ BC}\) jest biegunową ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ IBC}\) względem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Podobny fakt zachodzi dla okręgów dopisanych

[Swistak]

Oj no ta prosta to

Ukryta treść:    

Biegunowa względem tego okręgu wpisanego środka odcinka \(\displaystyle{ PQ}\), gdzie to są punkty przecięcia przedłużeń boków. Punkt przecięcia przekątnych też na niej leży.

Zrobiłem to zadanko kilka miesięcy temu jak w zamierzeniu miałem przygotowywać prezentację maturalną w bibliotece warszawskiej : p.

[timon92]

na prośbę paru osób wrzucam nowe zadanie
Okręgi \(\displaystyle{ \omega_1, \omega_2}\) są styczne zewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Punkty \(\displaystyle{ A,E}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ \omega_1}\). Odcinki \(\displaystyle{ AB, ED}\) są styczne do okręgu \(\displaystyle{ \omega_2}\) w punktach \(\displaystyle{ B,D}\). Proste \(\displaystyle{ AE, BD}\) tną się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \angle ATP+\angle ETP = 180^\circ}\).

[timon92]

wskazówka:    

wykazać najpierw lemat Kobosa: \(\displaystyle{ \frac{AB}{AT} = \frac{ED}{ET}}\)

[timon92]

wskazówka 2:    

a następnie skorzystać z twierdzenia Menelaosa

[timon92]

rozwiązanie:    

nowe: Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Przez wierzchołek \(\displaystyle{ A}\) poprowadzono prostą równoległą do prostej \(\displaystyle{ BC}\). Przecina ona dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach \(\displaystyle{ B,C}\) w punktach \(\displaystyle{ P,Q}\). Punkt \(\displaystyle{ R}\) jest taki, że \(\displaystyle{ RP \perp PB}\) oraz \(\displaystyle{ RQ \perp QC}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ ABC}\), to \(\displaystyle{ AI=AR}\)

[KPR]

Ukryta treść:    

Widać, że \(\displaystyle{ PAB}\) i \(\displaystyle{ QAC}\) są równoramienne, więc \(\displaystyle{ PA=BA}\) i \(\displaystyle{ QA=CA}\). Niech D będzie przecięciem \(\displaystyle{ AI}\) z \(\displaystyle{ BC}\). Z tw. o dwusiecznej, jak spojrzymy na trójkąty \(\displaystyle{ PRQ}\) i \(\displaystyle{ BIC}\), to widzimy, że \(\displaystyle{ I,A,R}\) są współliniowe i \(\displaystyle{ AR=\frac{ID(AB+AC)}{BC}}\). Musimy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{AI}{ID}=\frac{AB+AC}{BC}}\), a to jest von Aubel dla dwusiecznych.

-- 22 lis 2012, o 22:47 --Nowe:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ C_1,A_1}\) są odpowiednio punktami styczności okręgu wpisanego do boków \(\displaystyle{ AB,BC}\). \(\displaystyle{ A_2}\) jest takim punktem na \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ BA_1=CA_2}\), a \(\displaystyle{ C_2}\) - takim punktem na \(\displaystyle{ AB}\), że \(\displaystyle{ AC_1=BC_2}\). Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie punktem przecięcia \(\displaystyle{ CC_2}\) z okręgiem wpisanym w \(\displaystyle{ ABC}\) (bliższym wierzchołka \(\displaystyle{ C}\)), a \(\displaystyle{ Q}\)- punktem przecięcia \(\displaystyle{ CC_2}\) i \(\displaystyle{ AA_2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ PC=QC_2}\).