Matematyka.pl

Znajdz wszystkie \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]}\) , \(\displaystyle{ f(2x)=2\left(f(x)\right)^2 -1}\), takie ze \(\displaystyle{ f(0)=1}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-f(x)}{x^2} = a}\) , \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}^{+}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=cos( \sqrt{2a} x)}\) spełnia dane równanie. Pewnie tych funkcji więcej nie będzie, lecz nie umiem tego udowodnić i myślę, że trzeba skorzystać z podanej granicy

Weźmy \(\displaystyle{ c>0}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (-c,c)}\). Ustalmy \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Weźmy \(\displaystyle{ b>0}\) takie, że \(\displaystyle{ f(2^{k_0}x)=cos(2^{k_0}bx)}\) dla pewnego całkowitego \(\displaystyle{ k_0}\) takiego, że \(\displaystyle{ 2^{k_0}x \in (-c,c)}\). Wtedy z równania funkcyjnego wynika, że \(\displaystyle{ f(2^{k}x)=cos(2^{k}bx)}\) dla każdego k całkowitego. Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{k \rightarrow -\infty } \frac{1-f(2^k x)}{(2^k x)^2} = \lim_{k \rightarrow -\infty } \frac{1-cos(2^k bx)}{(2^k x)^2}= \frac{1}{2}b^2}\), więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2}b^2=a}\), stąd \(\displaystyle{ b= \sqrt{2a}}\). Zatem \(\displaystyle{ f(x)=cos(\sqrt{2a})}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \neq 0}\).