Matematyka.pl

Witam!
A wiec pierwsza lekcja matematyki w liceum i pierwsza praca domowa ponad moje sily. Otoz na lekcji bawilismy sie kalkulatorami i obliczalismy rozwiniecia dziesietne. Po czym sor kazal obliczyc rozwiniecie dziesietne ulamka 1/17. Na wyswietlaczu pojawila sie tylko czesc rozwiniecia (a dokladnie 6 cyferek) wiec sor jako prace domowa zadal nam znalezc sposob zeby obliczyc rozwiniecie ww ulamka na tymze kalkulatorze.
Prosze o pomoc

A ile cyfr wyświetla ten kalkulator?
Policz sam na kartce i po bólu : ]

Hmmm... Szybciej będzie policzyć na kartce, ale na kalkulatorze możesz zrobić to tak:
Obliczasz 1/17. Wyświetla Ci się:

0,058824

Pierwsze pięć cyfr rozwinięcia jest ok, ostatnia jest odpowiednio przbliżona przez kalkulator. Spisz na karteczce trzy cyfry i "usuń" je z wyświetlacza przez odjęcie 0,058. Na wyświetlaczu masz:

0,000824

Teraz, żeby oszczędzić trochę miejsca na kalkulatorze, mnozysz to razy 1000:

0,824

Wiesz, że ta "końcowka" jest przyblizona. Gdyby była dokładna, po pomozeniu przez 17 otrzymałbyś liczbę całkowitą. Znajdźmy tą liczbe, mnożąc naszą "niedokładną" liczbe przez 17:

14,008

Zaokrąglamy wynik do całości i z powrotem dzielimy przez 17:

14/17 = 0,823529

I znowu spisujemy trzy cyfry, usuwamy je, mnożymy przez 1000 itd. Robisz tak, az na wyświetlaczu znowu pojawi Ci się cykl 0558 - wtedy oznacza to, że "przeszedłeś" już cały okres.
Wobec tego:
1/17 = 0,(0588235294117647)

Oczywiście bardziej elegancko byłoby "przesuwać" nasze rozwinięcie co jedną cyfrę, zamiast co trzy. Otrzymalibyśmy wtedy sumę szeregu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{17}=\frac{0}{10}+\frac{5}{100}+\frac{8}{1000}+\frac{8}{10^{4}}+\frac{2}{10^{5}}+\frac{3}{10^{6}}+\frac{5}{10^{7}}+\frac{2}{10^{8}}+\frac{9}{10^{9}}+...}\)

Ale my jesteśmy leniwi, więc grupujemy od razu cyfry po 3 i nadal jest ok:

\(\displaystyle{ \frac{1}{17}=\frac{58}{1000}+\frac{823}{10^{6}}+\frac{529}{10^{9}}+\frac{411}{10^{12}}+\frac{764}{10^{15}}+...}\)

Ale zgadzam się z przedmówcą: szybciej to policzysz pisemnie na karteczce