Matematyka.pl

Wykazać, że istnieją liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 5 ^{1000}}\) nie zawierające w swoim zapisie dziesiętnym ani jednego zera.

Weźmy dowolną liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 5^{1000}}\). Zastosujmy następujący algorytm weźmy ostatnią pozycję na której nasza liczba zawiera \(\displaystyle{ 0}\) (załóżmy ze odpowiada ona \(\displaystyle{ 10^k}\) w zapisie dziesiętnym) i dodajmy do niej \(\displaystyle{ 5^{1000} \cdot 10^k}\). Pierwsze \(\displaystyle{ 0}\) wystąpi teraz na bardziej znaczącej cyfrze liczby, która nadal będzie podzielna przez \(\displaystyle{ 5^{1000}}\). Powtarzajmy ten krok aż otrzymamy liczbę \(\displaystyle{ n}\), której ostatnie \(\displaystyle{ 1000}\) cyfr jest różnych od \(\displaystyle{ 0}\). Liczba \(\displaystyle{ n \mod 10^{1000}}\) spełnia warunki zadania. c.k.d.

marcin_smu pisze:Weźmy dowolną liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 5^{1000}}\). Zastosujmy następujący algorytm weźmy ostatnią pozycję na której nasza liczba zawiera \(\displaystyle{ 0}\) (załóżmy ze odpowiada ona \(\displaystyle{ 10^k}\) w zapisie dziesiętnym) i dodajmy do niej \(\displaystyle{ 5^{1000} \cdot 10^k}\).

(np. gdy \(\displaystyle{ 5^{8}= 390625}\), tj. \(\displaystyle{ i_0=4}\)) to \(\displaystyle{ 5^8+ 10^3 5^8 = 391015625}\) poprzez to następuje przesunięcie zera o co najmniej jedna pozycję (w lewo), gdyż 4- tą cyfrą jest teraz \(\displaystyle{ 5}\) a trzy pierwsze się nie zmieniają.
itd.