Matematyka.pl

Liczby a,b,c,d są dodatnie. Ciąg (a,b,c) jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg (a,d,c) jest ciągiem geometrycznym.
a) Wykaż, że b jest większe bądź równe d.
b) Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego oraz iloraz ciągu geometrycznego dla a=3 i c=27.

Z definicji ciągu arytmetycznego jeżeli a,b,c to ciąg arytmetyczny to 2b=a+c,
z geometrycznego natomiast \(\displaystyle{ d^2=ac}\).
a) \(\displaystyle{ b \ge d}\) przyrównajy je, a więc zamieńmy je na 2b i \(\displaystyle{ d^2}\),stąd \(\displaystyle{ 2b>d^2}\)podnosimy b do kwadratu a d mnożymy razy 2, całość dzielimy przez 2 otrzymujemy \(\displaystyle{ 2b^2\(\displaystyle{ \ge}\)d^2}\)
wyliczamy:
\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{a^2+2ac+c^2}{4}\ge ac}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2+2ac+c^2}{2}\ge ac}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2+c^2}{2}+ac\ge ac}\)

Suma kwadratów dodatnia a więc Lewa strona \(\displaystyle{ \ge}\) Prawa strona
b) a=3, c=27

\(\displaystyle{ 2b=a+c \ \ \rightarrow \ \ 2b=30 \ \ \rightarrow \ \ b=15 \ \ \rightarrow \ \ 3,15,27 \ \ \rightarrow \ \ r=12}\)

\(\displaystyle{ d^2=ac \ \ \rightarrow \ \ d^2=81 \ \ \rightarrow \ \ d=9 \ \ \rightarrow \ \ 3,9,27 \ \ \rightarrow \ \ q=3}\)