Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
nethpwr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 7 lut 2010, o 21:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: nethpwr » 7 lut 2010, o 22:11

Cześć! Czy mógłby mi ktoś podpowiedzieć jak rozłożyć poniższą funkcję na ułamki proste? Wiem jak robić takie przykłady kiedy potęga w liczniku jest większa od potęgi w mianowniku ale na odwrót to już ni huhu...

\(\displaystyle{ \frac {2x^{3}+4} {x^{4}-1}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Kamil_B » 7 lut 2010, o 22:14

Najpierw rozkład na czynniki mianownika:
\(\displaystyle{ x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac {2x^{3}+4} {x^{4}-1}=\frac{A}{x-1}+ \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}}\)
gdzie współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) wyznaczamy w wiadomy sposób

Ps. Zakładam, że chodzi o rozkład na czynniki rzeczywiste.

nethpwr
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 7 lut 2010, o 21:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: nethpwr » 7 lut 2010, o 22:48

Świta mi coś, że trzeba pomnożyć wszystko przez rozłozony mianownik funkcji, czyli wyjdzie

\(\displaystyle{ 2x^{3}+4 = A(x+1)(x^{2}+1) +B(x-1)(x^{2}+1) + (Cx+D)(x-1)(x+1)}\)

tylko teraz przeszkadza mi to Cx+D.

Mogę prosić o jeszcze jakąś podpowiedź?

Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 360 razy

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Kamil_B » 8 lut 2010, o 11:14

nethpwr pisze:\(\displaystyle{ 2x^{3}+4 = A(x+1)(x^{2}+1) +B(x-1)(x^{2}+1) + (Cx+D)(x-1)(x+1)}\)
Teraz wymnóż wszystko po lewej stronie równania a nastepnie przyrównaj wielomiany z obu stron równania ( dokladnie wspołczynniki stojące przzy odpowiednich potęgęgach).
Dodatniesz uklad równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) ,który musisz rozwiązać

ODPOWIEDZ