Znajdź bazę sprzężoną.
: 7 lut 2010, o 20:44
W przestrzeni \(\displaystyle{ P^4_{| \mathbb{R}}}\) wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej 3 dana jest baza:
\(\displaystyle{ p_0(t) = 1 + t}\)
\(\displaystyle{ p_1(t) = 1 - t}\)
\(\displaystyle{ p_2(t) = t^2 + t^3}\)
\(\displaystyle{ p_3(t) = t^2 - t^3}\)
Wyznacz bazę do niej sprzężoną w \(\displaystyle{ (P^4_{| \mathbb{R}})^*}\).
Jak się do tego zabrać?-- 7 lutego 2010, 22:58 --Dobra, to chyba będzie miało jakiś sens
Wiemy, że bazę sprzężoną do bazy wielomianów \(\displaystyle{ [1,t,t^2,...,t^{n-1}]}\) tworzą funkcjonały \(\displaystyle{ [s_1,s_2,...,s_{n-1}]}\) zadane wzorem:
\(\displaystyle{ s_k(p) = \frac{p^{(k-1)}(0)}{(k-1)!}}\)
Zapiszmy teraz bazę wielomianów w macierzy, w której kolumnach są kolejne współczynniki wielomianów tej danej bazy w bazie "standardowej".
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}\)
Wiersze macierzy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) będą zawierać współczynniki funkcjonałów w bazie sprzężonej do standardowej bazy wielomianów.
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}}\)
Czyli wychodzi na to, że:
\(\displaystyle{ s_1(p) = \frac{1}{2} p(0) + \frac{1}{2} p'(0)}\)
\(\displaystyle{ s_2(p) = \frac{1}{2} p(0) - \frac{1}{2} p'(0)}\)
\(\displaystyle{ s_3(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} + \frac{p'''(0)}{12}}\)
\(\displaystyle{ s_4(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} - \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} - \frac{p'''(0)}{12}}\)
W sumie to by się zgadzało z:
Jeśli układ wektorów \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) to układ funkcjonałów \(\displaystyle{ (s_1,...,s_n)}\) zdefiniowany warunkami:
\(\displaystyle{ s_k(a_j) = \begin{cases} 0 , j \neq k \\ 1, j = k \end{cases}}\)
jest bazą \(\displaystyle{ X^*}\).
\(\displaystyle{ p_0(t) = 1 + t}\)
\(\displaystyle{ p_1(t) = 1 - t}\)
\(\displaystyle{ p_2(t) = t^2 + t^3}\)
\(\displaystyle{ p_3(t) = t^2 - t^3}\)
Wyznacz bazę do niej sprzężoną w \(\displaystyle{ (P^4_{| \mathbb{R}})^*}\).
Jak się do tego zabrać?-- 7 lutego 2010, 22:58 --Dobra, to chyba będzie miało jakiś sens
Wiemy, że bazę sprzężoną do bazy wielomianów \(\displaystyle{ [1,t,t^2,...,t^{n-1}]}\) tworzą funkcjonały \(\displaystyle{ [s_1,s_2,...,s_{n-1}]}\) zadane wzorem:
\(\displaystyle{ s_k(p) = \frac{p^{(k-1)}(0)}{(k-1)!}}\)
Zapiszmy teraz bazę wielomianów w macierzy, w której kolumnach są kolejne współczynniki wielomianów tej danej bazy w bazie "standardowej".
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}\)
Wiersze macierzy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) będą zawierać współczynniki funkcjonałów w bazie sprzężonej do standardowej bazy wielomianów.
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}}\)
Czyli wychodzi na to, że:
\(\displaystyle{ s_1(p) = \frac{1}{2} p(0) + \frac{1}{2} p'(0)}\)
\(\displaystyle{ s_2(p) = \frac{1}{2} p(0) - \frac{1}{2} p'(0)}\)
\(\displaystyle{ s_3(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} + \frac{p'''(0)}{12}}\)
\(\displaystyle{ s_4(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} - \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} - \frac{p'''(0)}{12}}\)
W sumie to by się zgadzało z:
Jeśli układ wektorów \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) to układ funkcjonałów \(\displaystyle{ (s_1,...,s_n)}\) zdefiniowany warunkami:
\(\displaystyle{ s_k(a_j) = \begin{cases} 0 , j \neq k \\ 1, j = k \end{cases}}\)
jest bazą \(\displaystyle{ X^*}\).