[Planimetria] Prostopadłość osi symetrii
: 3 wrz 2006, o 05:09
Wykaż fakt: jęsli figura płaska posiada dokłądnie dwie osie symetrii, to muszą być do siebie
wzajemnie prostopadłe ....
[ Dodano: 17 Września 2008, 20:26 ]
rozwiazanie Wystarczy pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) sa osiami symetrii figury \(\displaystyle{ F}\) i nie sa one prostopadłe do siebie, to \(\displaystyle{ F}\) ma tez inna oś symetrii, tj rozna od \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\). Niech \(\displaystyle{ k^\prime}\) bedzie prosta symetryczna do \(\displaystyle{ k}\) wzgledem \(\displaystyle{ l}\). Mamy \(\displaystyle{ k^\prime \neq k, \ k^\prime \neq l}\) (bo k i l nie sa prostopadle) Mozna wykazac, ze \(\displaystyle{ k^\prime}\) tez jest osia symetrii \(\displaystyle{ F}\). :
Niech \(\displaystyle{ A \in F}\) B jest symetryczny do A wzgledem osi \(\displaystyle{ l}\). A wiec \(\displaystyle{ B \in F}\). C jest symetryczny do B wzgledem osi \(\displaystyle{ k}\). D jest symetryczny do C wzgledem osi \(\displaystyle{ l}\). Z tego wynika ze symetralna AD jest symetryczna do symetralnej BC (tj do osi k), wzgledem prostej l. tj symetralna AD jest prosta \(\displaystyle{ k^\prime}\). Wobec dowolnosci wyboru A oś \(\displaystyle{ k^\prime}\) jest osia symetrii figury \(\displaystyle{ F}\).
cbdo
... kksps7.jpg
wzajemnie prostopadłe ....
[ Dodano: 17 Września 2008, 20:26 ]
rozwiazanie Wystarczy pokazac, ze jesli \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) sa osiami symetrii figury \(\displaystyle{ F}\) i nie sa one prostopadłe do siebie, to \(\displaystyle{ F}\) ma tez inna oś symetrii, tj rozna od \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\). Niech \(\displaystyle{ k^\prime}\) bedzie prosta symetryczna do \(\displaystyle{ k}\) wzgledem \(\displaystyle{ l}\). Mamy \(\displaystyle{ k^\prime \neq k, \ k^\prime \neq l}\) (bo k i l nie sa prostopadle) Mozna wykazac, ze \(\displaystyle{ k^\prime}\) tez jest osia symetrii \(\displaystyle{ F}\). :
Niech \(\displaystyle{ A \in F}\) B jest symetryczny do A wzgledem osi \(\displaystyle{ l}\). A wiec \(\displaystyle{ B \in F}\). C jest symetryczny do B wzgledem osi \(\displaystyle{ k}\). D jest symetryczny do C wzgledem osi \(\displaystyle{ l}\). Z tego wynika ze symetralna AD jest symetryczna do symetralnej BC (tj do osi k), wzgledem prostej l. tj symetralna AD jest prosta \(\displaystyle{ k^\prime}\). Wobec dowolnosci wyboru A oś \(\displaystyle{ k^\prime}\) jest osia symetrii figury \(\displaystyle{ F}\).
cbdo
... kksps7.jpg