uogolniony ciąg Fibonacciego

[sevo]

Witam. Z góry przepraszam za mało zrozumiały temat. Nie jestem też pewien czy w dobrym dziale zamieszczam mój post.
Do rzeczy:
mam problem z pewnym zadaniem. Jego treść: rozwiąż rekurencje
\(\displaystyle{ \ U_{n}\,=\,3U_{n - 1} + 4 U_{n - 2}}\)

warunki początkowe:
\(\displaystyle{ \ U_{0}\,=\,1}\)
\(\displaystyle{ \ U_{1}\,=\,8}\)

Czy mogłby mi ktos podsunać pomysł jak to ruszyć? Wiem ze był na to jakis wzór, ale pytanie jaki??

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}}\)
\(\displaystyle{ u_{0}=a}\)
\(\displaystyle{ u_{1}=b}\)
Tw
Jesli \(\displaystyle{ A^{2}+4B 0}\), to:
\(\displaystyle{ u_{n}=b \frac{\alpha^{n} -\beta^{n} }{\alpha -\beta} +}\)
\(\displaystyle{ + aB \frac{\alpha^{n-1} -\beta^{n-1} }{\alpha -\beta}}\)
a liczby \(\displaystyle{ \alpha}\),\(\displaystyle{ ,\beta}\):
\(\displaystyle{ \alpha^{2}=A\alpha+B}\)
\(\displaystyle{ \beta^{2}=A\beta+B}\)
tj są to pierwiastki równania \(\displaystyle{ x^{2}=Ax+B}\) W tym przypadku jaki podałes: \(\displaystyle{ A=3, B=4,\ a=1, b=8, =-1, \beta=4}\), tj

\(\displaystyle{ u_{n}=\frac{9 (4)^{n} -4 (-1)^{n} }{5}}\)

[sevo]

hmmm....własnie znalazlem notatki z zajęć. Mam tam to troche inaczej zapisane. Próbowalem tymsposobem z lekcji i doszedłem do wyliczenia α i β, ale kiedy chce dalej robic moim sposobem wychodzi mi zupełnie inny wynik niż podany przez ciebie ??:
W notatkach mam cos takiego:
"Jeżeli α i β są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{2}\,=\,Ax + B}\), \(\displaystyle{ a_{n}\,=\,Aa_{n - 1} + Ba_{n - 2}}\) ma rozwiązanie postaci
\(\displaystyle{ a_{n}\,=\,C_{1} ^{n} + C_{2} \beta ^{n}}\)
\(\displaystyle{ C_{1} i C_{2}}\) - z warunków początkowych

i wychodzi mi ze \(\displaystyle{ \alpha \,=\, -1}\) i \(\displaystyle{ \beta \,=\, 4}\), a później nie wiem co zrobic z tym \(\displaystyle{ C_{1} i C_{2}}\)???

[mol_ksiazkowy]

sevo napisał:

"Jeżeli α i β są różnymi pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^{2}\,=\,Ax + B}\), \(\displaystyle{ a_{n}\,=\,Aa_{n - 1} + Ba_{n - 2}}\) ma rozwiązanie postaci
\(\displaystyle{ a_{n}\,=\,C_{1} ^{n} + C_{2} \beta ^{n}}\)
\(\displaystyle{ C_{1} i C_{2}}\) - z warunków początkowych

i wychodzi mi ze \(\displaystyle{ \alpha \,=\, -1}\) i \(\displaystyle{ \beta \,=\, 4}\), a później nie wiem co zrobic z tym \(\displaystyle{ C_{1} i C_{2}}\)???

[/quote]te stałe wyliczysz, dzieki temu ze znasz dwa poczatkowe wyrazy ciagu-wiec uzyskasz uklad równan, ..bardzo prosty

[sevo]

widze ze jestem bardzo głupi, bo nie mam zielonego pojecia z czego ułożyc ten układ równan

[mol_ksiazkowy]

Skoro wiesz, że :
\(\displaystyle{ U_{n}\,=\,C_{1} (-1)^{n} + C_{2} (4) ^{n}}\), to podstawiasz sobie w tym wzorze:
\(\displaystyle{ n=0}\), i \(\displaystyle{ n=1}\)masz układzik
\(\displaystyle{ 1=C_1 + C_2}\)
\(\displaystyle{ 8=-C_1 +4C_2}\)

[sevo]

ok po wyliczeniu otrzymuje \(\displaystyle{ C_{1}\,=\,4 i C_{2}\,=\,3}\), wiec teraz mam podstawicto do wzoru: \(\displaystyle{ a_{n}\,=\,C_{1} ^{n} + C_{2} \beta ^{n}}\) i otrzymuje \(\displaystyle{ a_{n}\,=\, 4\cdot ( - 1)^{n} + 3\cdot (4)^{n}}\) i to jest koniec zadania? jesli tak to dlaczego różni sie on od twojego? zrobilem cos nie tak?

[mol_ksiazkowy]

sevo napisał:

ok po wyliczeniu otrzymuje \(\displaystyle{ C_{1}\,=\,4 i C_{2}\,=\,3}\), wiec teraz mam podstawicto do wzoru: \(\displaystyle{ a_{n}\,=\,C_{1} ^{n} + C_{2} \beta ^{n}}\) i otrzymuje \(\displaystyle{ a_{n}\,=\, 4\cdot ( - 1)^{n} + 3\cdot (4)^{n}}\) i to jest koniec zadania? jesli tak to dlaczego różni sie on od twojego? zrobilem cos nie tak?

A jak to poilczyłes...? sprobuj od nowa.... dodaj równania stronami ok?

[sevo]

ooook.....jak zawsze musiałem sie gdzies walnać w obliczeniach
ma wyjść \(\displaystyle{ C_{1}\,=\, - \frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ C_{2}\,=\,\frac{9}{5}}\) i wtedy bedzie sie wszystko zgadzać. Mam jeszcze jedną prośbe. Czy mogłbys mi zweryfikować jeszcze jedno zadanie czy nie zrobiłem w nim błędu? Treść taka sama jak poprzednio:
\(\displaystyle{ 3U_{n}\,=\, - 10U_{n-1} -3U_{n-2}}\), warunki początkowe \(\displaystyle{ U_{0}\,=\, - 10}\) i \(\displaystyle{ U_{1}\,=\, - 16}\).
z moich obliczeń wyszło, że: \(\displaystyle{ \alpha \,=\, - 3}\) i \(\displaystyle{ \beta \,=\, - \frac{1}{3}}\),
\(\displaystyle{ C_{1}\,=\,\frac{19}{4}}\), \(\displaystyle{ C_{2}\,=\,\frac{21}{4}}\) i wynik wyszedł:

\(\displaystyle{ a_{n}\,=\,\frac{ 19\cdot ( - 3)^{n} + 21\cdot ( - \frac{1}{3})^{n} }{4}}\)

[mol_ksiazkowy]

jeśli tak to jest ok!!