Matematyka.pl

Witam,

Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania, prosiłbym o pomoc w rozgryzieniu

Podana jest funkcja 2 zmiennych:

\(\displaystyle{ f(x,y) = \{ c \ dla \ (0 \leqslant x \leqslant 1 \wedge 0 \le y \le 1) \vee (2 \le x \le 3 \wedge 2 \le y \le 3) \}}\) natomiast 0 poza zdefiniowanym zakresem.

Dla jakiej wartości c funkcja f(x,y) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej? Wyznaczyć jej dystrybuantę oraz zbadać zależność zmiennych losowych X i Y.

Gęstość musi się całkować do jedynki na całym obszarze, na którym jest określona. Widzimy również, że podana przez ciebie gęstość jest jednostajnie rozłożona na tym obszarze. Zatem to będzie tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \mbox{d}x \int_{0}^{1}c \mbox{d}y + \int_{2}^{3} \mbox{d}x \int_{2}^{3} c \mbox{d}y}\)
Stałą c możesz sobie wyciągnąć przed całki. Dystrybuantą jest wynik tego co napisałem wyżej.
Jeśli chodzi o intuicję: W zadaniu masz podane pole podstawy jakiejś figury przestrzennej i teraz dobierasz c (czyli wysokość) takie, żeby objętość tej tej figury wynosiła 1.
Podobnie dla zmiennej losowej jednowymiarowej, tylko że wtedy powierzchnia musi się równać 1.

Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ c = \frac{1}{2}}\), tak?

"zbadać zależność zmiennych losowych X i Y" chodzi o zwyczajne EX, EY, EXY i COV, tak? Pytam, bo zdaje się mam trochę braki w probabilistyce

Zmienne są niezależne gdy:
\(\displaystyle{ P(X,Y)=P(X)P(Y)}\) dla rozkładów dyskretnych
\(\displaystyle{ f(x,y)=f(x)f(y)}\) dla ciągłych