Matematyka.pl

chcę obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } [ \frac{2n + 3}{4n + 5}]^{n}}\)
i tak do Eulera nie mogę sprowadzić wyciągając n przed nawias i skracając też chyba nie bo wynik wyjdzie źle, czyli jak ?

Jeżeli musisz ze sprowadzaniem do takiej postaci, to:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2n +3}{4n+5} \right) ^{n} = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{4n+5-2n-2}{4n+5} \right) ^n = \lim_{n \to \infty } \left(1+ \frac{-2n-2}{4n+5} \right)^n =}\)

\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } \left[ \left(1+ \frac{-2n-2}{4n+5} \right)^{ \frac{4n+5}{-2n-2}} \right]^{ \frac{-2n^2-2n}{4n+5} } = e^{- \infty }=0}\)

Ale wydaje mi się, że od razu możesz stwierdzić:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2n +3}{4n+5} \right) ^{n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{ \infty } = 0}\)

no właśnie tak zrobiłem jak to drugie ale wtedy stwierdziłem że to jest nieskończoność ale teraz jak patrze to licznik rośnie szybciej czyli dąży do 0, dzięki wielkie.

ale teraz jak patrze to licznik rośnie szybciej czyli dąży do 0

Chyba raczej chciałeś powiedzieć: mianownik

tak mianownik, myślę o czym innym i pisze co innego.

Możesz mi wytłumaczyć skąd to 2gie stwierdzenie?

Bieniol pisze:
\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } \left[ \left(1+ \frac{-2n-2}{4n+5} \right)^{ \frac{4n+5}{-2n-2}} \right]^{ \frac{-2n^2-2n}{4n+5} } = e^{- \infty }=0}\)

przyjrzyj się dokładnie definicji liczby e

Mi chodzi o przejście prędzej, do 1/2

No bo granica ciągu (tego wewnątrz):

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{2n +3}{4n+5} \right) = \frac{1}{2}}\)

A mi się wydawało, że coś wyimaginowanego ;P Dzięki